曲線を表す方法は媒介変数表示だけではない． ２つの曲面の交線と見る方法もある．すなわち，点$P(x,y,z)$が２つの方程式 $f(x,y,z)=0, \ g(x,y,z)=0$ を満たす点の集合と見る方法である． ただし，各点で行列 $\begin{pmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial x} & \dfrac{\partial f}{\partial y} & \dfrac{\partial f}{\partial z} \\ \dfrac{\partial g}{\partial x} & \dfrac{\partial g}{\partial y} & \dfrac{\partial g}{\partial z} \end{pmatrix}$ の階数が２であるとする． ここで，点$P(x_0,y_0,z_0)$において $\begin{vmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial y} & \dfrac{\partial f}{\partial z} \\ \dfrac{\partial g}{\partial y} & \dfrac{\partial g}{\partial z} \end{vmatrix}\neq 0$ とすると，陰関数の存在定理より$P_0$を含む開集合上で $y=y(x),z=z(x)$ が $f(x,y(x),z(x))=0,g(,y(x),z(x))=0$ を満たすように存在する． これが微積分で学ぶ陰関数の存在定理のことであるが，見方を変えれば当たり前の定理で， $f(x,y,z)=0, \ g(x,y,z)=0$ から，$y,z$をそれぞれ$x$について局所的に解くことを意味している． 実際， 曲線 $(x(t),y(t),z(t))$ が $f(x(t),y(t),z(t))\equiv 0,$ $g(x(t),y(t),z(t))\equiv 0$ を満たすとき， $\dfrac{\partial f}{\partial x}x'(t)+\dfrac{\partial f}{\partial y}y'(t)+\dfrac{\partial f}{\partial z}z'(t)=0$ $\dfrac{\partial g}{\partial x}x'(t)+\dfrac{\partial g}{\partial y}y'(t)+\dfrac{\partial g}{\partial z}z'(t)=0$ を満たす．したがって，ベクトル$(x'(t),y'(t),z'(t))$はベクトル $(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y},\dfrac{\partial f}{\partial z}) \times (\dfrac{\partial g}{\partial x},\dfrac{\partial g}{\partial y},\dfrac{\partial g}{\partial z})$ に平行である． したがって，$(x'(t),y'(t),z'(t))$が定まるためには $\begin{pmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial x} & \dfrac{\partial f}{\partial y} & \dfrac{\partial f}{\partial z} \\ \dfrac{\partial g}{\partial x} & \dfrac{\partial g}{\partial y} & \dfrac{\partial g}{\partial z} \end{pmatrix}$ の階数が２であることが必要であり，陰関数の定理が成り立つための条件であることと一致する． 
例１曲線 $\boldsymbol{f}(t)=(\cos t,\sin t,t)$ の自然媒介変数表示を求めよう． この曲線は円柱状をくるくる回りながら上に上がっていく曲線で円柱螺旋（らせん）といいます． $t=0$を基準の点として距離$s$を求めると $|\boldsymbol{f'}(t)|=\sqrt{2}$ より $s=\sqrt{2}t$ したがって，この円柱螺旋の自然媒介変数表示は $\boldsymbol{f}(s)=(\cos \dfrac{s}{\sqrt{2}},\sin \dfrac{s}{\sqrt{2}},\dfrac{s}{\sqrt{2}})$ となります． 
例２曲線 $\boldsymbol{f}(t)=(t,\dfrac{t^2}{2},\dfrac{t^3}{6})$ についてです． なお，平面曲線$(\frac{t^2}{2},\frac{t^3}{6})$は$t=0$で特異点ですが，$\boldsymbol{f}(t)$は正則曲線です． このように正則曲線の正射影は正則曲線になるとは限りません． $\boldsymbol{f'}(t)=(1,t,\dfrac{t^2}{2})$ より $|\boldsymbol{f'}(t)|=\sqrt{1+t^2+\dfrac{t^4}{4}}$・・・@ @を積分することはできたとしても簡単でない． したがって，弧長を求めることは簡単でない． 自然媒介変数表示を具体的に求めることは難しい． しかし，曲線を調べるのに必要なのは，$\boldsymbol{f}$の弧長$s$による微分で，それは， $\dfrac{d\boldsymbol{f}}{ds}=\dfrac{\dfrac{d\boldsymbol{f}}{dt}}{\dfrac{ds}{dt}}=\dfrac{(1,t,\dfrac{t^2}{2})}{\sqrt{1+t^2+\dfrac{t^4}{4}}}$ である（弧長での微分は大きさが１であるから，$\boldsymbol{f'}(t)$の大きさで割ったと考えてもよい）． この例が示すように，一般の曲線の自然媒介変数表示（弧長による媒介変数表示）を具体的に求めるのは 一般に簡単ではない． しかし，弧長による微分を$t$で表せば，簡単に求められ，それによって議論を進めることになる． 例３ 平面曲線 $\boldsymbol{f}(t)=(t,\dfrac{t^2}{2})$ の弧長を求めよう．． $\boldsymbol{f'}(t)=(1,t)$ より， $|\boldsymbol{f'}(t)|=\sqrt{1+t^2}$ $\displaystyle s(t)=\int_0^t\sqrt{1+t^2}dt$ $=\dfrac{t\sqrt{1+t^2}}{2}+\log (1+\sqrt{1+t^2})$ このように弧長は求められが，$s(t)$の逆関数を求めるのは簡単ではない．したがって， 放物線$y=\dfrac{x^2}{2}$でさえ，自然媒介変数表示を求めることは簡単なことではない． $s(t)$の逆関数を求めることは簡単ではないことが多いが，微分はむずかしくない．微分幾何は図形の局所的議論です．すなわち 微分だけが必要で$s(t)$の逆関数を求める必要はありません． 実際，曲線 $\boldsymbol{f}(t)$の弧長による微分$\dfrac{d\boldsymbol{f}}{ds}$は $\dfrac{d\boldsymbol{f}}{ds}=\dfrac{\frac{d\boldsymbol{f}}{dt}}{\frac{ds}{dt}}$ である． 曲線の理論を扱うときは弧長変数用いる すなわち $\dfrac{d\boldsymbol{f}}{ds}=(x(s),y(s),z(s))$ とおいて議論を展開していく($x(s),y(s),z(s)$が具体的に表せるかどうかは考えない)． もちろん例外はありますが，これが微分幾何において曲線を扱うときの一貫した態度です． 弧長変数は，針金で曲線を作り，空間に置いたものと考えればよい． 3.接触平面 微分幾何の目次 |