定理1,2,3をまとめると次のようになります． 定理4 多様体上\(M\)の開集合U上の一次独立な\(n\)個のベクトル場\(\{e_i\}\)の双対ベクトル場を\(\{\omega _i\}\), \(M\)上の接続\(\nabla \)の接続形式\(\{\omega _i^j\}\)とする. すなわち \(\nabla _{e_j}e_i=\Gamma _{ij}^ke_k\) で定まる\(\Gamma _{ij}^k\)を用いて１次微分形式\(\{\omega _i^j\}\)を \(\omega _i^j=\Gamma _{ik}^j\omega _k\) 定義する．さらに捩率微分形式\(\Omega ^i\),曲率微分形式\(\Omega _k^l\)を \(\Omega ^i=\dfrac{1}{2}T_{jk}^i\omega ^j\wedge \omega ^k\) \(\Omega _k^l=\dfrac{1}{2}R_{ijk}^{\ \ \ \ \ l}\omega ^i\wedge \omega ^j\) で定義する．ただし\(T\)は捩率テンソル，\(R\)は曲率テンソル． このとき\(\{\omega ^i\}\),\(\{\omega _i^j\}\),\(\{\Omega ^i\}\),\(\{\Omega _k^l\}\)について． \(\begin{cases} d\omega _i=\omega ^s\wedge \omega _s^i+\Omega ^i\\ d\omega _k^l=\omega _k^s\wedge \omega _s^l+\Omega _k^l\\ d\Omega ^i=\omega ^s\wedge \Omega _s^i-\Omega ^s\wedge \omega _s^i\\ d\Omega _k^l=\omega _k^s \wedge \Omega _s^l-\Omega _k^s\wedge \omega _s^l \end{cases}\) が成り立つ． 特に，捩率テンソル\(T\)が\(T=0\)のとき， \(\begin{cases} d\omega _i=\omega ^s\wedge \omega _s^i\\ d\omega _k^l=\omega _k^s\wedge \omega _s^l+\Omega _k^l\\ d\Omega _k^l=\omega _k^s \wedge \Omega _s^l-\Omega _k^s\wedge \omega _s^l \end{cases}\) となる． これらの等式を接続\(\nabla \)が定義された多様体の構造方程式という． ここで，構造方程式の意味を説明しよう． 多様体上\(M\)の開集合\(U\)上の一次独立な\(n\)個のベクトル場\(\{e_i\}\)の双対ベクトル場を\(\{\omega _i\}\), \(M\)上の接続\(\nabla \)の接続形式\(\{\omega _i^j\}\)としているわけですから，\(\{\omega _i\}\),\(\{\omega _i^j\}\)は ともに，M 上の１次微分形式（１階の共変ベクトル場）です．さらに，\(\{\omega _i\}\)は\(\bigwedge ^1(U)(=T^{\ast}(U))\)の基底を なすから，任意の\(U\)上の微分形式は \(\omega =f\omega ^{i_{1}}\wedge \dots \wedge \omega ^{i_{k}}\) の和で表せ，さらに， \(\displaystyle d(\omega )=df\wedge \omega ^{i_{1}}\wedge \dots \wedge \omega ^{i_{k}}+ \sum_{l=1}^k(-1)^{l-1}\omega ^{i_{1}}\wedge \dots \wedge (d\omega ^{i_{l}})\wedge \dots \wedge \omega ^{i_{k}}\) であから，任意の微分形式に対する外微分が自由にできる．この方法で行えば，テンソルの概念も必要なければ，共変微分の概念を必要ありません． 外微分を用いて多様体上の幾何学を行うことがE.カルタンが提唱した方法で，さらに，微分形式のテンソルに対する優位性を解説したのが フランダース著 微分形式の理論 岩波書店 です(この本は私の手に負える本ではないので，このようなことを書くのは気が引けるのですが).とはいうものの 外微分の方法で多様体上の幾何学を行うのは簡単ではありません．それでは，外微分を用いてすなわち，テンソルや共変微分を 用いないで曲面論を扱った本がないのかというと あるのです．それが 小林昭七著 曲線と曲面の微分幾何 裳華房 です．微分幾何の大家の書籍ですので，至る所著者のアイデアが散りばれれております．ただ手強い本で， 入門書と考えるべきではありません． 腰を据えて読むべき本です．ここで述べた，構造方程式の知識があると，同書を読むときに役に立つのではないかと思います． 続く 微分幾何の目次 |