7.接続形式(5)

話を戻そう．
曲率テンソルを構造方程式から見直そう．
\(\Omega _k^l=d\omega _k^l-\omega _k^s\wedge \omega _s^l=R_{ijk}^{\ \ \ \ \ \ l}\omega ^i\otimes \omega ^j= \dfrac{1}{2}R_{ijk}^{\ \ \ \ \ l}\omega ^i\wedge \omega ^j\)
であるから曲率テンソル\(R\) は
\(R=R_{ijk}^{\ \ \ \ \ l}\omega ^i\otimes \omega ^j\otimes \omega ^k\otimes e_l\) \(=\Omega _k^l\otimes \omega ^k\otimes e_l\)
\(M\)上のベクトル場\(X,Y\)に対して，(1,1)型のテンソル\(R(X,Y)\)を
\(R(X,Y):Z\mapsto R(X,Y)Z=\nabla _X\nabla _YZ-\nabla _Y\nabla _XZ-\nabla _{[X,Y]}Z\)
で定義すると，
\(R(X,Y)=\Omega _k^l(X,Y)\omega ^k\otimes e_l\)
である．
すなわち，
\(R(X,Y)e_k=\Omega _k^l(X,Y)e_l\)
これは，線型変換\(R(X,Y)\)の基底\(\{e_i\}\)による表示が行列\((\Omega _k^l(X,Y))\)であることを意味している．このように， 曲率テンソルは\(n^2\)個の２次微分形式で表すことができる．
この結果そのものは，当たり前の内容です．
すなわち，曲率テンソル\(R_{ijk}^{\ \ \ \ \ l}\)は\(i,j\)に関して交代テンソルです．\(i,j\)にベクトルを作用させれば，線型変換が 出てきます．それをきちんと表したのが
\(R(X,Y)e_k=\Omega _k^l(X,Y)e_l\)
です．

最後に，座標変換で，双対ベクトル場および曲率形式がどのような変換をするか調べましょう．
\(\{e_1,\dots ,e_n\},\{f_1,\dots ,f_n\}\)をそれぞれベクトル場の基底，\(\{e_1,\dots ,e_n\}\)の双対ベクトル場を \(\{\omega^1,\dots ,\omega ^n\}\),接続形式を\(\{\omega _i^j\}\)とし，\(\{f_1,\dots ,f_n\}\)の双対ベクトル場を\(\{\eta^1, \dots ,\eta ^n\}\),接続形式を\(\{\eta _i^j\}\)とする．
\(\{e_i\}\)と\(\{f_i\}\)が \(f_i=a_i^je_j\) を満たすとき， \(a_j^i\eta ^j=\omega ^i\) を満たし，\((a_i^j)\)の逆行列を\((b_i^j)\)とすれば
\(\eta ^i=b_j^i\omega ^j\)
をみたす．なお行列\((a_j^i)\)の第\(i\)行第\(j\)列成分が\(a_j^i\)で，上付の添字が行，下付の添字が列を表す．これがテンソル解析の行列の扱い方のルールである．
\(\nabla _{e_i}e_j=\Gamma _{ji}^ke_k,\nabla _{f_i}f_j=\overline{\Gamma}_{ji}^kf_k\)
より
\(\nabla f_i=\nabla a_i^je_j=(da_i^j)\otimes e_j+a_i^j\nabla e_j=(da_i^k)\otimes e_k+a_i^j\omega _j^k\otimes e_k =(da_i^k+a_i^j\omega _j^k)\otimes e_k\)
一方，
\(\nabla f_i=\eta _i^j\otimes f_j=\eta _i^j\otimes a_j^ke_k\)
であるから
\(a_k^j\eta _i^k=da_i^j+a_i^k\omega _k^j \cdots (\sharp)\)
が成り立つ．\((\sharp)\)が座標変換の公式である．
当然この式は，座標関数で表せば\(\Gamma _{ij}^k,\overline{\Gamma} _{ij}^k\)の関係式になる．
(接続形式の項目終わり)


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