準備が整いました． 多様体上\(M\)の開集合\(U\)上の一次独立な\(n\)個のベクトル場\(\{e_i\}\)の双対ベクトル場を\(\{\omega _i\}\), \(M\)上の接続\(\nabla \)の接続形式\(\{\omega _i^j\}\)とするとき，\({\omega ^i},{\omega _i^j}\)の関係式を求めましょう． 曲線のフレネ・セレの公式に対応するのは次の２つの定理です． 定理1 \(d\omega ^i-\omega ^s\wedge \omega ^i_s=\dfrac{1}{2}T_{jk}^i\omega ^j\wedge \omega ^k\) が成り立つ． 定理2 \(d\omega _k^l-\omega _k^s\wedge \omega _s^l=\dfrac{1}{2}R_{ijk}^{\ \ \ \ l}\omega ^i\wedge \omega ^j\) が成り立つ． 定理1の証明 \((d\omega ^i-\omega ^s\wedge \omega _s^i)(e_j,e_k)\) \(=e_j(\omega ^i (e_k))-e_k(\omega ^i (e_j))-\omega ^i([e_j,e_k])-\omega ^s(e_j)\omega _s^i(e_k) +\omega _s^i(e_j)\omega ^s(e_k)\) \(=-\omega _j^i(e_k)+\omega _k^i(e_j)-\omega ^i([e_j,e_k])\) \(=-\Gamma _{jk}^i+\Gamma _{kj}^i-\omega ^i([e_j,e_k])\) \(=\omega ^i(\nabla {e_j}e_k-\nabla _{e_k}e_j-[e_j,e_k])\) \(=\omega ^i(T(e_j,e_k))=T^i_{jk}\) \(j,k\)に関して交代であるから定理1が成り立つ． 定理2の証明 \((d\omega _k^l-\omega _k^s \wedge \omega _s^l)(e_i,e_j)\) \(=e_i(\omega _k^l(e_j))-e_j(\omega _k^l(e_i))-\omega _k^l([e_i,e_j]) -\omega _k^s(e_i)\omega _s^l(e_j)+\omega _s^l(e_i)\omega _k^s(e_j)\) \(=e_i(\Gamma _{kj}^l)-e_j(\Gamma _{ki}^l)-\omega ^t([e_i,e_j])\Gamma _{kt}^l-\Gamma _{ki}^s\Gamma _{sj}^l +\Gamma _{si}^l\Gamma _{kj}^s\) 一方，前ページで示したことより，曲率テンソル\(R\) を\(\{e_i\}\)による成分を表せば \(R_{ijk}^{\ \ \ \ l}=e_i(\Gamma _{kj}^l)-e_j(\Gamma _{ki}^l)-\omega ^t([e_i,e_j])\Gamma _{kt}^l-\Gamma _{ki}^s\Gamma _{sj}^l +\Gamma _{si}^l\Gamma _{kj}^s\) である \((d\omega _k^l -\omega _k^s\wedge \omega _s^l)(e_i,e_j)=R_{ijk}^{\ \ \ \ \ \ l}\) および，\(R_{ijk}^{\ \ \ \ l}\)は\(i,j\)に関して交代\((R_{ijk}^{\ \ \ \ \ \ l}=-R_{jik}^{\ \ \ \ \ \ l})\)であるから \(d\omega _k^l -\omega _k^s\wedge \omega _s^l=R_{ijk}^{\ \ \ \ \ \ l}\omega ^i\otimes \omega ^j =\dfrac{1}{2}R_{ijk}^{\ \ \ \ \ \ l}\omega ^i\wedge \omega ^j\) 定理１に関連して，２次の微分形式\(\Omega ^i\)を \(\Omega ^i:=d\omega ^i -\omega ^s\wedge \omega _s^i\) で定義し，\(\Omega ^i\)を接続が定義された多様体\(M\)のベクトル場の基底\(\{e_i\}\)における捩率微分形式という． 定理２に関連して，2次の微分形式\(\Omega _k^l\)を \(\Omega _k^l:=d\omega _k^l -\omega _k^s\wedge \omega _s^l\) で定義し，\(\Omega _k^l\)を接続が定義された多様体\(M\)のベクトル場の基底\(\{e_i\}\)における曲率微分形式という． 捩率微分形式\(\Omega ^i\),曲率微分形式\(\Omega _k^l\) を用いれば，定理１は \(d\omega ^i-\omega ^s\wedge \omega ^i_s=\Omega ^i\) 定理２は \(d\omega _k^l-\omega _k^s\wedge \omega _s^l=\Omega _k^l\) である． 残されたのは，捩率微分形式，曲率微分形式の外微分すなわち\(d\Omega ^i,d\Omega _i^j\)を\(\omega ^i,\omega _i^j\) で表すことである． 定理3 \(d\Omega ^i=\omega ^s\wedge \Omega _s^i-\Omega ^s\wedge \omega _s^i\) \(d\Omega _k^l=\omega _k^s \wedge \Omega _s^l-\Omega _k^s\wedge \omega _s^l\) が成り立つ． 証明 \(d\omega ^i-\omega ^s\wedge \omega ^i_s=\Omega ^i\) より \(d\Omega ^i=-d\omega ^s\wedge \omega _s^i+\omega ^s\wedge d\omega _s^i\) \(=-(\omega ^t\wedge \omega _t^s +\Omega ^s)\wedge \omega _s^i +\omega ^s\wedge (\omega _s^t\wedge \omega _t^i+\Omega _s^i)\) \(=-\Omega ^s\wedge \omega _s^i+\omega ^s\wedge \Omega _s^i\) \(d\omega _k^l-\omega _k^s\wedge \omega _s^l=\Omega _k^l\) より \(d\Omega _k^l =-d\omega _k^s\wedge \omega _s^l+\omega _k^s\wedge d\omega _s^l\) \(=-(\omega _k^t\wedge \omega _t^s +\Omega _k^s)\wedge \omega _s^l +\omega _k^s\wedge (\omega _s^t\wedge \omega _t^l +\Omega _s^l)\) \(=-\Omega _k^s\wedge \omega _s^l+\omega _k^s\wedge \Omega _s^l\) 続く 微分幾何の目次 |