これから,\(n\)個の微分形式\(\{\omega _i\}\)と\(n^2\)個の微分形式\(\{\omega _i^j\}\)の閉じた関係式を作ります． 曲線のフレネ・セレの公式のときに現れた曲率，捩率に対応するものである，曲率テンソル，捩率テンソルを確認しておこう． 定義 接続\(\nabla\)が定義された多様体\(M\)で任意の\(X,Y\in\mathcal{X}(M)\)に対して \(T(X,Y)=\nabla _XY-\nabla _YX-[X,Y]\) で定義した\(M\)上の(1,2)型のテンソル場\(T\)を捩率テンソルという． \(T\)がテンソル場になることを確認しよう． \(T(X,Y)=-T(Y,X)\) であるから， \(f\in C^{\infty}(U)\)に対して \(T(fX,Y)=fT(X,Y)\) が成り立つことを示せばよい． \(T(fX,Y)=\nabla _{fX}Y-\nabla _YfX-[fX,Y]\) \(=f\nabla _{X}Y-(Y(f)X+f\nabla _YX)-f[X,Y]+Y(f)X\) \(=fT(X,Y)\) \(T\)をテンソル表示すれば \(T(e_i,e_j)=\nabla _{e_i}e_j-\nabla _{e_j}e_i-[e_i,e_j]\) \(=(\Gamma _{ji}^k-\Gamma _{ij}^k-\omega ^k([e_i,e_j])e_k\) \(=T_{ij}^ke_k\) によって\(\{T_{ij}^k\}\)を定めれば \(T=T_{ij}^k\omega ^i\otimes \omega ^j\otimes e_k\) となる． 定義 接続\(\nabla\)が定義された多様体\(M\)で,任意の\(X,Y,Z\in\mathcal{X}(M)\)に対して \(R(X,Y)Z=\nabla _X\nabla _YZ-\nabla _Y\nabla _XZ-\nabla_{[X,Y]}Z\) で定義した\(M\)上の(1,3)型のテンソル場\(R\)を曲率テンソルという． \(R\)がテンソル場になることを捩率テンソルと同様に示すことができるが，それば曲率テンソルの項目を参照． ここでは，曲率テンソルの\(\{e_i\}\)に関する成分を計算する． \(R(e_i,e_j)e_k=R_{ijk}^{\ \ \ \ \ \ l}e_l\) と表したときの\(R_{ijk}^{\ \ \ \ \ \ l}\)を計算する． \(R(e_i,e_j)e_k\) \(=\nabla _{e_i}\nabla _{e_j}e_k-\nabla _{e_j}\nabla _{e_i}e_k-\nabla_{[e_i,e_j]}e_k\) \(=\nabla_{e_i}(\Gamma _{kj}^se_s)-\nabla _{e_j}(\Gamma _{ki}^se_s)-\omega ^t([e_i,e_j])\Gamma _{kt}^se_s\) \(=e_i(\Gamma _{kj}^s)e_s+\Gamma _{kj}^s\Gamma _{si}^te_t-e_j(\Gamma _{ki}^s)e_s-\Gamma _{ki}^s\Gamma _{sj}^te_t -\omega ^t([e_i,e_j])\Gamma _{kt}^se_s\) \(=(e_i(\Gamma _{kj}^l)+\Gamma _{kj}^s\Gamma _{si}^l-e_j(\Gamma _{ki}^l)-\Gamma _{ki}^s\Gamma _{sj}^l -\omega ^t([e_i,e_j])\Gamma _{kt}^l)e_l\) したがって， \(R_{ijk}^{\ \ \ \ \ \ l}=e_i(\Gamma _{kj}^l)+\Gamma _{kj}^s\Gamma _{si}^l-e_j(\Gamma _{ki}^l)-\Gamma _{ki}^s\Gamma _{sj}^l -\omega ^t([e_i,e_j])\Gamma _{kt}^l\) と置けば \(R(e_i,e_j)e_k=R_{ijk}^{\ \ \ \ \ \ l}e_l\) となる． もう一つ，以下の計算で用いる外微分の計算式を述べる． 命題 \(\omega\)を多様体M上の１次微分形式（一階共変ベクトル場）とする．このとき任意のベクトル場\(X,Y\)に対して \(d\omega (X,Y)=X\omega (Y)-Y\omega (X)-\omega ([X,Y])\) が成り立つ． 証明は交代テンソルの項を参照． 続く 微分幾何の目次 |