8.接続形式(1)

曲線上で考えたフレネ・セレの公式に対応する曲面上の公式を導き出す.
曲線\(\overrightarrow{f}(s)\)を調べるとき,各点で3つの互いに垂直な単位ベクトル $\alpha,\beta,\gamma$ を用い
$\alpha '(s)=k(s)\beta (s)$
$\beta '(s)=-k(s)\alpha (s)+\tau (s)\gamma (s)$
$\gamma '(s)=-\tau (s)\beta (s)$
行列で書くと.
  $\begin{pmatrix} \alpha '(s) \\ \beta '(s) \\ \gamma '(s) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & k(s) & 0 \\ -k(s) & 0 & \tau (s) \\ 0 & -\tau (s) & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha (s) \\ \beta (s) \\ \gamma (s) \end{pmatrix}$
を導き出しました.
これは,曲線上の任意のベクトルは
\(\alpha (s),\beta (s),\gamma (s)\)
で表せ,\(\alpha '(s),\beta '(s),\gamma '(s)\)が\(\alpha (s),\beta (s),\gamma (s)\)で表せることは,曲線上の微分が自由に できることを意味します.
ここでは,多様体上で似た公式を作ります.

まず,最初に考えることは,曲線上で考えたときの,接線ベクトル\(\alpha (s)\),主法線ベクトル\(\beta (s)\), 従法線ベクトル\(\gamma (s)\) に対応する特別なベクトルが存在するかです.
一般の多様体の局所座標系
\(\{U;x^1,\dots ,x^n\}\)
で,その座標関数の接ベクトル(局所座標の基本ベクトルという)
\(\{\dfrac{\partial}{\partial x^1},\dots ,\dfrac{\partial}{\partial x^n}\}\)
が正規直交基底になるものが存在するか.これは一般に存在しません.なぜなら,存在するなら曲率\(0\)になるからです.
正規直交基底はあきらめなければなりません.それでは座標系のn個の基本ベクトルが互いに直交する局所座標系は一般に存在するのでhそうか. 2次元曲面なら存在します.それは半測地座標\((ds^2=Edu^2+Gdv^2)\)で,さらに測地座標\((ds^2=du^2+Gdv^2)\)も存在し,ガウスーボンネの定理の 証明で用いました.
3次元以上の多様体で半測地座標が存在するのでしょうか.2次元曲面の半測地座標を作る過程を見れば分かるのですが,2つのベクトルを 直交することはできますが,もう一つが動いてしまい,互いに直交する座標系を作ることは簡単でないことはことは分かります. たぶん偏微分方程式の注意深い議論が必要なのでしょう.
基本ベクトルが互いに直交する座標系はあきらめましょう.
それでは,ベクトル場ではどうでしょうか.これは,互いに直交するどころか,正規直交基底だって朝飯前です.すなわちシュミットの直交化を用いれば簡単に 得られます.ただこれは局所的な議論であることに注意しましょう.球面を例にとれば分かるように,曲面全体で1次独立どころか 曲面全体で0でないベクトルさえ存在しない場合も あります.

\(M\)を\(n\)次元の多様体,\(M\)の開集合Uで,\(n\)個のベクトル場\({e_1,\dots ,e_n}\)は\(U\)の各点\(P\)で \(\{e_1(P),\dots ,e_n(P)\}\)は\(T_P(M)\)の基底すなわち,各点で1次独立とします.さらに\(\{e_i\}\)の双対ベクトル場を \(\{\omega ^1,\dots ,\omega ^n\}\)とします.
ここでは,\(M\)にリーマン距離を与えていないので,ベクトルの角度や長さは考えません.
\(\nabla \)を微分多様体\(M\)の1つの接続とする.すなわち,\(M\)の開集合\(U\)上に\(n^3\)個の関数\(\Gamma _{ij}^k\)が存在して
\(\nabla _{e_j}e_i=\Gamma _{ij}^ke_k\)
を満たす.
ここで
\(\omega _j^k=\Gamma _{ji}^k\omega ^i\)
とおくと,
\(\nabla e_j:X\mapsto \nabla _Xe_j\)
は(1,1)型のテンソルで
\(\nabla e_j=\omega _j^k\otimes e_k\)
となるが,\(\omega _j^k\)がベクトル\(e_k\)の係数と考え
\(\nabla e_j=\omega _j^ke_k\)
と表記することもある.どちらの表記でもよいが,多くの書籍が\(\otimes \)を用いない方を採用している.たとえば
小林昭七  曲線を曲面の微分幾何   裳華房
ここでは,テンソルの表記である
\(\nabla e_j=\omega _j^k\otimes e_k\)
を用いる.
この\(n^2\)個の1次微分形式$\omega _i^j$を接続\(\nabla \)のベクトル場\(\{e_i\}\)の接続形式と呼ぶ.

続く


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