第４節 三角形から切り取れる面積の和が最大の2つの円 
ここでは，三角形から2つの円を切り取り，その面積の和を最大にせよ という問題を考えます． まず，△ＡＢＣに含まれる2円で面積の和が最大のものをＯ，Ｏ’とすると，2辺のうちいずれかは各辺に接している ことに注意します． 
実際，２円Ｏ，Ｏ’が共に辺ＡＢに接しないとすると，ＡＢに平行で２円のいずれかまたは両方と接する直線を引きそれをＤＥとすれ
ば，△ＤＥＣ∽△ＡＢＣであるから，２円Ｏ，Ｏ’の面積の和が最大に反する．
したがって，△ＡＢＣ内の2円Ｏ，Ｏ’の面積の和が最大なら，少なくとも片方は2辺に接する．その円をＯとし，辺ＡＢ，ＢＣに接するとする. 円Ｏ’は円Ｏに外接し，2辺ＡＣ，ＢＣまたは2辺ＡＢ，ＡＣ に接する． 円Ｏの半径をｘ，円Ｏ’の半径ｙとし，円Ｏ’は２辺ＢＣ，ＣＡに接するとする． ２節で計算したことより，ｍ＝ｓ−ｂ，ｎ＝ｓ−ｃとおけば 
 ２円Ｏ，Ｏ’の面積の和はπ（ｘ２＋ｙ２）より面積をｘで微分すると  f(ｔ)の各項はｔ＞０ですべて単調増加．さらにｆ（＋０）＝−∞，ｆ（∞）＝∞より，ｔ＞０でｆ（ｔ）＝０は ただ一つの解を持つ． 
したがって，２円Ｏ，Ｏ’の面積の和はｔ＝ｘ／ｙの定義域の端点のいずれかで最大値を取る．すなわち，Ｏ，Ｏ’のいずれかが△ＡＢＣの内接円のとき，２つの面積の和が最大になる． したがって，残された問題は，内接円とどの内角ではさまれた円が一番大きいかです． △ＡＢＣの内接円の半径をｒ，内接円と外接し∠Ｂで接する円の半径をｘとすると右図の △Ｏ’ＯＨに注目すれば， 
したがって，内角が小さいほど，２辺に接し内接円に外接する円は大きいことがわかった． 以上で，次の定理が証明されました． 定理 三角形から切り取ることができる２つの円のうち，面積の和が最大のものは， 三角形の内接円と三角形の一番小さい内角をなす２辺に接し内接円に外接する円である． あとがき Malfattiの問題の目次 全体の目次 |