第1節 作図 この節の目的は，作図題としてのMalfattiの問題の解決です．すなわち， △ＡＢＣが与えられている．２辺ずつに接しかつ互いに外接する３円を作図せよ の解決です．ちょっと難しいかもしれませんが，とてもすばらしい，1つの芸術品といえる作図です． 
まず，上の図１(右図)の作図から始めましょう．
右図は，円Ｏは△ＡＢＣの辺ＡＢ，ＢＣに接し，円Ｏ’は円Ｏに外接し，かつ辺ＢＣ，ＣＡに接していいます．
すなわち，次の作図の問題を考えます．作図題 円Ｏは△ＡＢＣの辺ＡＢ，ＡＣに接している．このとき，円Ｏに外接しさらに２辺ＢＣ，ＣＡに接する円を求めよ． 解 
作図題では，作図が完成したとして，その図形のもつ性質を調べ作図方法を考えることが一般的です．これは，一般の数学の 問題を解くときも用いる方法で解析的手法と名前がついています． さて，△ＡＢＣのＡＣ，ＢＣに接し円Ｏに外接する円Ｏ’が作図できたとします． このとき，円Ｏ’の半径を円Ｏの半径だけ大きくすると，円Ｏ’は円Ｏの中心Ｏを通ります． したがって，辺ＡＣ，ＢＣを円Ｏの半径ｒだけ平行移動した半直線をＯ”Ａ’，Ｏ”Ｂ’とすると， Ｏ”Ａ’，Ｏ”Ｂ’に接し点Ｏを通る円を求め，中心を変えず，半径をｒだけ小さくした円が求める円になります． 
したがって，残された問題は，∠ＡＯＢ内に点Ｃが与えられたとき，点Ｃを通りＯＡ，ＯＢに接する
円を求めることです． 相似変換を利用します． まず，∠ＡＯＢに内接する円Ｏ’を作図します． この円を拡大して点Ｃを通るようにすれば解決です． ＯＣと円Ｏ’との交点の片方をＣ’とすると，△ＯＣＯ"∽△ＯＣ’Ｏ’より Ｃを通りＣ’Ｏ’に平行な直線とＯＯ’との交点をＯ”とすると，この点Ｏ”が求める 円の中心です． 以上で作図が完成しました． 話をすすめましょう． 次に，△ＡＢＣの２辺ずつに接しかつ互いに外接する３円の性質を調べます． まず，いくつかの準備をします． 
準備命題１３円Ｏ，Ｏ’，Ｏ”が互いに外接するとき，Ｏ，Ｏ’の共通内接線，Ｏ’，Ｏ”の共通内接線，Ｏ”，Ｏの 共通内接線は１点で交わる． 証明 ２円Ｏ，Ｏ’の共通内接線と２円Ｏ’，Ｏ”の共通内接線の交点をＨとする．点Ｈは３円に関する 方べき（方べきは下の注意で解説します）の一致する点である． Ｈを通り，２円Ｏ”，Ｏの接点Ｃを通る直線を引き，円Ｏ，Ｏ”との交点のうち点Ｃでないほうをそれぞれ Ｐ，Ｑとする．点Ｈの円Ｏに関する方べきと円Ｏ”に関する方べきは一致するから ＨＣ・ＨＰ＝ＨＣ・ＨＱ ∴ＨＰ＝ＨＱ したがって２点Ｐ，Ｑは一致し点Ｃである． ゆえにＨＣは２円Ｏ，Ｏ”の共通内接線である． 
右図で，点Ｈは３円に関する方べきが一致するから ＨＡ＝ＨＢ＝ＨＣ， ＨＡ⊥ＯＯ’，ＨＢ⊥Ｏ’Ｏ”，ＨＣ⊥Ｏ”Ｏ したがって，次が成り立つ． 系１ 点Ｈは△ＯＯ’Ｏ”の内心である． 
系２△ＡＢＣの辺ＢＣ上の点Ｐが ＰＢ−ＰＣ＝ＡＢ−ＡＣ を満たすとき，点Ｐは△ＡＢＣの内接円の接点である． 証明 Ｂを中心とする半径ＢＰの円，Ｃを中心とする半径ＣＰの円，Ａを中心とする 半径ＡＢ−ＢＰ（＝ＡＣ−ＣＰ）の円は互いに外接するので， ＩＰ⊥ＢＣが成り立つ． 注意 １．系２の逆は明らかです．実際，△ＡＢＣの内心よりＢＣに下ろした垂線の足をＰとすると， ＢＰ＝ｓ−ＡＣ，ＣＰ＝ｓ−ＡＢ，(ただし，２ｓ＝ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ) より， ＰＢ−ＰＣ＝ＡＢ−ＡＣ が成り立ちます． 
２．平面上に円Ｏと点Ｐがある．点Ｐを通る任意の直線と円Ｏとの交点をＡ，Ｂとすると，直線にかかわらず
ＰＡ・ＰＢは一定でありその値を点Ｐの円Ｏに関する方べきという．Ｐから円Ｏに引いた接線をＰＴとするとＰＡ・ＰＢ＝ＰＴ2 でありので円Ｏの半径をｒとすると，方べきの値は ＰＡ・ＰＢ＝ＰＴ2＝ＰＯ2−ｒ2 である．この性質を利用して，点Ｐの方べきを ＰＯ2−ｒ2 で定義しなおすと点Ｐが円の内部でも定義できる．ちなみに，円Ｏに関する点Ｐの方べきは，点Ｐが円の外部にあるとき正， 周上のとき０，内部のとき負である． ここで考えた点Ｈは３円に関する方べきの等しい点で３円の根心と呼ばれる．３円の根心は ３円の中心が一直線上にない限り３円の位置関係がどの場合でも存在します． 
３．三角形の頂点を中心とする３円が接する場合でも右図のように内接するものがあるときは，この３円の
根心は三角形の傍心です．
４．準備命題１及びその系１，２は三角形の内心，内接円の性質を考えれば当たり前の事実です．△ＡＢＣでＡＢ＝ｃ，ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂのとき， ｙ＋ｚ＝ａ，ｚ＋ｘ＝ｂ，ｘ＋ｙ＝ｃ ・・・@ を解くと ｘ＝（ｂ＋ｃ−ａ）／２，ｙ＝（ｃ＋ａ−ｂ）／２，ｚ＝（ａ＋ｂ−ｃ）／２・・・A であり，ａ，ｂ，ｃは三角形の３辺であるからｘ，ｙ，ｚは正である．さらに@を満たすｘ，ｙ，ｚは他に存在しない． また，Ａ，Ｂ，Ｃを中心とす半径がそれぞれｘ，ｙ，ｚの円はどの２つも外接している． 一方，△ＡＢＣの内心をＩとし，Ｉから３辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢに下した垂線の足をＰ，Ｑ，Ｒとすると ＡＲ＝ｘ，ＢＰ＝ｙ，ＣＱ＝ｚ であるから，準備命題１及びその系１，２が成り立つことが分かる． 
準備命題２２円Ｏ，Ｏ’の共通外接線をａ，ａ’，２円Ｏ’，Ｏ”の共通外接線をｂ，ｂ’，２円Ｏ”，Ｏの 共通内接線をｃ，ｃ’とする． このとき，ａ，ｂ，ｃが一点で交わるならａ’，ｂ’，ｃ’も一点で交わる． 証明 ３直線ａ，ｂ，ｃの交点をＡ，２直線ａ’，ｂ’の交点をＢとする．Ｂを通る円Ｏ” に接する直線が円Ｏに接することを証明すればよい． ２直線ａ，ａ’；ｂ，ｂ’；ｃ，ｃ’の交点をそれぞれＫ，Ｌ，Ｍとする． ここで，ＫＡ，ＫＢ，ＬＡ，ＬＢが円Ｏ’に接するから ＡＫ＋ＡＬ＝ＢＫ＋ＢＬ ・・・@ （∵ ＡＫ＋ＡＬ＝ＫＰ＋ＬＱ＝ＫＲ＋ＬＳ＝ＢＫ＋ＢＬ） また，四角形ＡＬＢＭは円Ｏ”に外接するから ＡＬ＋ＢＭ＝ＡＭ＋ＢＬ・・・A @−Aより ＡＫ−ＢＭ＝ＢＫ−ＡＭ ∴ ＡＫ＋ＡＭ＝ＢＫ＋ＢＭ したがって，ＡＫ，ＫＢ，ＢＭ，ＭＡは１つの円に外接する（証明は後）． 一方，ＡＫ，ＫＢ，ＡＭは円Ｏに接しているから直線ＢＭも円Ｏに接する． 
証明の中で用いた次の性質は説明が必要です．性質１ 四角形ＡＢＣＤが右の図のように４辺がそれぞれ四角形の外部にある円Ｏに接するなら ＡＢ＋ＡＤ＝ＣＢ＋ＣＤ が成り立つ． 証明 各辺の延長と円Ｏとの接点を図のようにＰ，Ｑ，Ｒ，Ｓとすると， ＡＢ＋ＡＤ＝ＤＰ−ＢＲ ＝ＤＳ−ＢＱ＝ＣＤ＋ＣＢ 性質２ 
四角形ＡＢＣＤがＡＢ＋ＡＤ＝ＣＢ＋ＣＤ を満たし，ＡＤ，ＢＣ，ＣＤが四角形の外部にある円に接するとき，残りの辺ＡＢも同じ円に接する． 証明 点Ａから円に引いたＡＰとは異なる接線とＢＣまたはその延長との交点をＢ’とする． このとき，仮定より ＡＢ＋ＡＤ＝ＣＢ＋ＣＤ・・・@ 性質１より ＡＢ’＋ＡＤ＝ＣＢ’＋ＣＤ・・・A @−Aより ＡＢ−ＡＢ’＝ＣＢ−ＣＢ’＝±ＢＢ’ したがって，ＢとＢ’が異なれば矛盾するので，ＡＢは円に接する． 
準備命題３半径ｒの円Ｏと半径ｒ’の円Ｏ’が与えられている． 円Ｏ上の点Ａの円Ｏ’に関する方べきと円Ｏ’上の点Ａ’の円Ｏに関する 方べきが一致するとき点Ａにおける円Ｏの接線と点Ａ’における円Ｏ’の接線をの交点を Ｐとするとき ＰＡ：ＰＡ’＝ｒ：ｒ’ が成り立つ． 証明 ＡＡ’と円Ｏ，Ｏ’とのＡ，Ａ’以外の交点をそれぞれＢ，Ｂ’とする． このとき， ＡＡ’・ＡＢ’＝Ａ’Ａ・Ａ’Ｂ よりＡＢ＝Ａ’Ｂ’が成り立つ． Ｏ，Ｏ’，ＰよりＡＡ’に下ろした垂線の足をそれぞれＭ，Ｍ’，Ｈとすると， △ＰＡＨ∽△ＡＯＭより(∵∠ＰＡＯ＝９０°) ＰＡ：ＯＡ＝ＰＨ：ＡＭ 同様に ＰＡ’：Ａ’Ｏ’＝ＰＨ：Ａ’Ｍ’ ＡＭ＝Ａ’Ｍ’であるから ＰＡ：ＯＡ＝ＰＡ’：Ａ’Ｏ’ が成り立つ． ∴ ＰＡ：Ｐ’Ａ’＝ｒ：ｒ’ 
準備命題３より∠ＡＰＯ＝∠Ａ’ＰＯ’ が成り立つ．したがって，次の系が成り立つ． 系 円Ｏ上に点Ａ，円Ｏ’上に点Ａ’があり．点Ａにおける円Ｏの接線と点Ａ’における円Ｏ’の接線と ２円Ｏ，Ｏ’の共通内接線が 一点Ｐで交わっている． 点Ａにおける円Ｏ’に関する方べきと点Ａ’における円Ｏに関する方べきが等しいなら点Ｐを通る ２円の共通内接線は∠ＡＰＡ’の２等分線である． 次の問題を解決するための準備が整いました． Malfattiの問題 △ＡＢＣの２辺ずつに接し，かつ互いに外接する3つの円を作図せよ． 
解答問題解法の定石に従い，3円が作図できたとして，３円が満たす性質を調べます． 3円Ｏ，Ｏ’，Ｏ”が条件を満たす円と仮定します． 2円ずつの接点をＤ，Ｅ，Ｆ，円と3辺との接点をＤ１，Ｄ２，Ｅ１，Ｅ２，Ｆ１，Ｆ２， さらにＯ，Ｏ’の共通内接線をＰＰ’，Ｏ’，Ｏ”の共通内接線をＱＱ’，Ｏ”，Ｏの共通内接線をＲＲ’ とする． 補助命題等より次のことがわかります． １．３直線ＰＰ’，ＱＱ’，ＲＲ’は1点で交わり，その交点をＨとする． （∵）補助命題１より成り立つことがわかります． ２．△ＨＱ’Ｒ’の内接円は辺Ｑ’Ｒ’と点Ｐで接する． （∵）準備命題１系２より ＰＱ’−ＰＲ’＝ＨＱ’−ＨＲ’ を示せばよい． ＰＱ’−ＰＲ’＝Ｑ’Ｄ２−Ｒ’Ｄ１ ＝ＥＱ’−Ｒ’Ｆ＝ＨＱ’−ＨＲ’ 当然Ｑも同様にＨＲ’，ＣＡ，Ｐ’Ｈの定める三角形に内接する円の接点で，ＲはＨＰ’，ＡＢ，Ｑ’Ｈ の定める三角形に内接する円の接点です． 
次に，ＨＱ’，Ｑ’Ｒ’，Ｒ’Ｈの定める三角形の内接円をＡ’とし，ＨＲ’，ＣＡ，Ｐ’Ｈの定める三角形の
内接円をＢ’さらにＨＰ’，Ｐ’Ｂ，Ｑ’Ｈの定める三角形の内接円をＣ’とする．ここで，3円Ａ’，Ｂ’，Ｏ’に注目する． ３．辺ＡＣ，ＢＣと2円Ａ’，Ｂ’の共通内接線のうちＲＲ’でない方は1点Ｃで交わる． （∵）ＰＰ’は2円Ｂ’，Ｏ’の共通外接線，ＱＱ’は2円Ａ’，Ｏ’の共通外接線，ＲＲ’は２円Ａ’，Ｂ’の共通 内接線．さらにＰＰ’，ＱＱ’，ＲＲ’は一点で交わるから，準備命題２より，辺ＡＣ，ＢＣと2円Ａ’，Ｂ’ の共通内接線のうちＲＲ’でない方は1点で交わり，ＡＣとＢＣの交点は点Ｃ であるから３直線の交点は点Ｃである． 
４．2円Ａ’，Ｂ’の共通内接線のうちＲＲ’でない方は∠Ｃの二等分線である．（∵）点Ｐの円Ｂ’に関する方べきと点Ｑの円Ａ’に関する 方べきを調べる． ＰＤ＝ＰＤ２＝ＮＥ， ＤＭ＝Ｅ１Ｑ＝ＱＥ ∴ ＰＤ＋ＤＭ＝ＮＥ＋ＱＥ ∴ＰＭ＝ＱＮ したがって，準備命題３およびその系より，2円Ａ’，Ｂ’の共通内接線のうちＲＲ’でない方は∠Ｃの二等分線である ことが証明された． 以上で，円Ａ’，Ｂ’，Ｃ’が△ＡＢＣの内心をＩとすると，それぞれ△ＩＢＣ，△ＩＣＡ，△ＩＡＢの内接円である ことが証明された． 以上で，作図の解析が終了しました． これから，ここで行った解析を逆にたどって作図を考えます． まず，もう一度作図の解析を見直しましょう． １．△ＡＢＣが与えられ，条件を満たす円をＯ，Ｏ’，Ｏ”とする． ２．2円Ｏ，Ｏ’；Ｏ’，Ｏ”；Ｏ”，Ｏの共通内接線をそれぞれＰＰ’，ＱＱ’，ＲＲ’とする． ３．３直線ＢＣ，ＱＱ’，ＲＲ’；ＣＡ，，ＲＲ’，ＰＰ’；ＡＢ，ＰＰ’，ＱＱ’で囲まれた三角形の内接円を それぞれＡ’，Ｂ’，Ｃ’とする． ４．ＲＲ’は２円Ａ’，Ｂ’の共通内接線で，２円Ａ’，Ｂ’のもう１つの共通内接線は∠Ｃの２等分線となっており， ＰＰ’，ＱＱ’も同様． ５．したがって△ＡＢＣの内心をＩとすると，３円Ａ’，Ｂ’，Ｃ’はそれぞれ△ＩＢＣ，△ＩＣＡ，△ＩＡＢ の内接円である． となっています． 逆をたどることにより，求める作図は次のようになります． １，△ＡＢＣの内心Ｉを求め，△ＩＢＣ，△ＩＣＡ，△ＩＡＢの内接円をＡ’，Ｂ’，Ｃ’とする， ２．２円Ａ’，Ｂ’；Ｂ’，Ｃ’；Ｃ’，Ａ’において，ＩＣ，ＩＡ，ＩＢでない方の共通内接線を それぞれＰＰ’，ＱＱ’，ＲＲ’とする． ３．３直線ＢＣ，ＱＱ’，ＲＲ’；ＣＡ，，ＲＲ’，ＰＰ’；ＡＢ，ＰＰ’，ＱＱ’で囲まれた三角形の内接円 が求める３円である． 以上で作図が完成しました．その作図にしたがって作成したものが次の図です． 第２節 ３円の作図 Malfattiの問題の目次 全体の目次 |