現在，生徒の数学の学び方が変容しているように思います．その実態を理解する必要があります．次のようなことがありました．
最近よく推奨されいる生徒間の教え合いの場面です．
教え合う問題は
問題 2次方程式
$x^2-2x+a=0$
が異なる2つの実数解を持つのは
$a < \underline{\hspace{1cm}}$
のとき．

です．以下は教え合いの様子です．
A:これはどう解くの．
B:判別式よ判別式．
A:判別式って
B:そんなの覚えなきゃだめよ．方程式$ax^2+bx+c=0$の$b^2-4ac$よ．
A:ふーん．じゃあ計算するね．えーと$4-4a$になったよ．あとはどうするの．
B:あとは問題文の$a < \underline{\hspace{1cm}}$より答えを見つけるのよ．
A:え，わかんない．
B:$4-4a > 0$を解くのよ．$a < 1$になるでしょ．これが答えよ．
A:B子ちゅんすごい．判別式ってすごいんだね．なんかわかったみたい．

これを見ていた先生は，これではまずいと思い，近づき
T:それではまずいな．私が少し説明しよう．
A:私わかったんだけど．
T:(何にもわかっていないんだよ．と昔なら一喝するのであろうが今はそうはいかない．いわゆる人権論者は困ったもので， 是々非々で行けばよいものを，教育界はいつの間にか委縮してしまった．)そういわず． まず，この方程式を解いてごらん．
A:先生馬鹿にしているでしょう．これはできるんです．
$x=\dfrac{2\pm \sqrt{4-4a}}{2}$
です．エッヘン．
T:($x$の係数が偶数なのにこの解の公式を使うあたりで問題があるが， それはここでは飛ばし)この解より，異なる２つの実数解をもつ$a$の条件が わかるんじゃないかな．
A:わかんない．
T:$\sqrt{a}$のとき$a$の条件はわかるかい．
A:・・・
B:$a$は$0$以上じゃない．
A:それは覚えることなの．
T:(数学は覚えることは殆どない．理解すれば自然と身につくんだよと言っても，それは先生が頭いいからでしょ． 私は違うんです，という嫌みが返ってくるのが落ちなので，余計なことは言わず) ルートの定義すなわち$\sqrt{a}$の定義はどうなっている．
A:だから嫌なのよ．私わかったからもういいの．
T:(もう無理かなと思いながら)せっかくだから別の見方をしよう．
方程式の左辺を$y$とおいた$y=x^2-2x+a$の平方完成してごらん．グラフを考えるんだけど．
A:先生もいい．私Bちゃんの教え方があっているの．先生しっし． (犬じゃないぞとおもいながら終了せざるを得ません)．

これは，一部脚色がありますが，実際の話です．
生徒の学び合いを勧める記事を見ることがありますが，やはり理論のコアとなる部分は教員が責任を持つ必要がある. 生徒は解き方を教えることはできるが，内容を教えることはなかなかできないことを理解し， 生徒間の学び合いの実施は十分注意深く行う必要がある（他の分野例えば社会科学では効果的かもしれない）．
この例の生徒のことを知るとよく言われるところの
「試験はできるが何もわかっていない生徒がいる」
「教科書が読めない高校生がいる」
がわかるのではないでしょうか．数学の教師をしていると，とんでもない解答に出会うことがあります． 以前は，問題を馬鹿にしているのかなと思いますしたが，実際は生徒の窮余の一策である場合が多いのです．

話を戻しましょう．
先生の指導は終わってしまいましたが，A子が少しの忍耐力を持っていたとしたら次のようになるでしょう．
$\sqrt{a}$の定義(方程式$x^2=a$の解のうち正のほう)が理解できれば$\sqrt{a}$は$a \geqq 0$のとき定義できることがわかり， $D=b^2-4ac$の符号で方程式の実数解の個数がわかることが理解でいるでしょう．
それで，2次方程式の解の公式は面倒だけど， 実数解の個数は解を求めなくともわかる(これが大事，後で，解と係数の関係およびそれに付随する話題につながる)ことが理解できる．
さらに，$y=x^2-2x+a$のグラフの頂点を考え，グラフと$x$軸との交点に 注目すると，内容の理解がしっかりするでしょう．
そして，このような学び方を２，３度経験すれば，数学は少しの苦労は伴うが， 理解して内容を積み上げていけば楽しいことが わかるでしょう（本来学んで新しい知識を得ることは楽しいことなのです）．さらに， 数学はいろんな分野が有機的につながっており，同じことをいろんな方面から 学ぶことになりどんどん理解が深まっていくでしょう． ひょっとしたら，数学が大好きになり，数学の先生になるかもしれない．多分このような先生が良い先生なのでしょう．
一方A子から見たら数学の神であるB子はどうでしょう．数学の理解がどの程度かは測りかねるが，問題の解き方を覚えることが 数学の勉強と考えている可能性が高い．これから，大学受験を無事クリアーし社会に出，人生の成功者として，自分の成功体験より得た 数学の学習方法を伝えたく本を書くかもしれない．そして，その学びかたが世の中を闊歩する． このようなことは，いたる分野でありうることなのでしょう．

私は，数学の教師になって40年が過ぎました（現在は定年退職し非常勤で数学を教えている(茨城　鹿島学園)）．1979年に 共通一次テストが始まりましたが，ほぼ同時期に教員になりました．
長い間生徒を見ていますが，数学の内容をきちんと理解しようとしている生徒が少なくなっている，言い方を変えれば，問題が解ければ それでいいと考えている生徒が増えているように思います．
その原因が共通一次テストや現在のセンターテストにあるとは言いません．もっと複合的な原因でしょうが， 少なくとの影響はあると思います．
例えば，私の勤務校の定期考査をみると，1990年ころまでは殆ど記述式で，それから空所補充の問題が 増えてきました．
上の例でいえば
問題(空所補充)
2次方程式
$x^2-2x+a=0$
が異なる2つの実数解を持つのは
$a < \underline{\hspace{1cm}}$
のとき．

問題(記述式)
2次方程式
$x^2-2x+a=0$
が異なる2つの実数解を持つときの$a$の範囲を求めよ．

の違いです．
記述の解答例は
解答例
判別式を$D$とおく．
$\dfrac{D}{4}=1-a$
$D > 0$より$a < 1$・・・(答)
あまり変わらないと思うかもしれませんが，長い間続けると差は大きいものです．
このような，高校教育事情を心配し，検討を重ね記述式を共通テストに入れようと考えたのでしょう．
下村博文前大臣をはじめ，検討委員に対する非難は目に余るものがあります． 数学に記述式を採用するということはとてもまっとうな意見であることがわかってもらえると思います．

さて，大学共通テストに記述式を導入することは中止になりました．実際，採点で大学の教官の協力が 得られない限り採点の公平性の観点から国民の納得は得られないかもしれません(後で，中国の高考の問題で可能であることを述べます)．
それほど，大学入試における数学の記述式の採点は難しいことなのです．
このことを知らないと，大学入試について検討するとき，見誤ることになります．
入試を実施する側の大学の教官は，みっともないと考え採点が大変だとは口が裂けても言わないでしょうから， それ以外の人が発言する必要があります．
いわゆる進学校で数学を教えるとき，記述式の答案の採点が必要になります．
入試問題の記述式の答案を採点するとき，採点の前に丁寧に解くのは当たり前で，さらに，いろいろな値を計算しておき，受験生の計算の 値が正しいかをみながら答案の推論を 読んでいきます．予定された解答ならいいですが，そうでない場合が結構あります． それを読み取るのは，相当の数学の力が必要です．答案をそのまま自分で書きとりゆっくり考えたりする必要があります． 高校では，その生徒を呼び出し，説明させて，「そうか．おめー，すごい」で解決しますが(実際斬新な解答が少なくない) 入試ではそうはいきません．場合によっては，何人かで相談したりして相当時間をかけてみていると思います．
入試では答案を丁寧に読んでいることは外部から見てもわかります．というのは，数学はできるが，字が汚く，読むのに苦労する答案を書く生徒がいます．生徒には， 答案は読んでもらうものだから，それを考えて，答案を作成しなさいといいます．教員として，この生徒の答案果たして読んでくれるのかと心配になりますが， 概ね杞憂に終わります．
記述式がこれほど大変なのにどうして行う必要があるのかという疑問が出てくるでしょうが， 思考力は記述式でしか測れないのです．
例えば，センターテストの数学�UBの問題を見ていると，相当難しい問題もあります．しかしそれは， 解けなくともかまわない問題であることが多い．
記述式は，問題を読み，図を描き，例を調べ，解答の糸口を見つけ，解答を作り上げます．
山登りで例えるなら，センターテストは，道を与えて，要所，要所に難所を作りそれを超えていく．2次試験の記述式はあの山に自分で上りなさい． の違いと考えればよいでしょう．実際，数学�UBのセンターテストの問題を具体的に見れば，第1問は指数・対数・三角関数および図形と方程式よりバランスよく出題され， 第２問は微分・積分，第３問は数列，第４問はベクトルと内容は決まっています．問題量も多く，制限時間内に解くのは大変で，思考力より瞬発力のほうが重要です．
さらに，全国共通テストなら上から下まで対象の範囲が広いから現在の問題になるのは当然です．大学入学後の学生に何も求めるかを考えれば，難関大は２次試験に比べて１次試験の比重が低い理由もわかるでしょう．
２次試験の出題者は受験生の思考力を見るのですから，暗記型の受験生が解けないような，言い方を変えれば受験生が見たことのない 問題を作ります．ですから以前，新井紀子氏が「AIは東大に合格できるか」が話題になりましたが， 記憶型では解けない問題ですからAIが合格できないのはあたりまえなのでしょう．新井紀子氏が「AIでも受からないのだから， あなたみたいに解答ばかり読んでいる勉強じゃ大学受からないわよ」と言っていくれたら今の高校生には効果がありそうです. 興味あるのは，「AIで数学の記述式の答案を採点できるかです」．AIが論理を理解できるとは思えませんから， 記述式の採点のほうが問題を解くよりAIにとっては 難しいのではないでしょうか．AIをなめんなと言われるかもしれませんが， 生徒を育てる，記述式の採点はいつまでも残る教員の仕事でしょう．
最近の話題で，いくつかの大学の解答の間違いから，文科省より各大学に入試問題の解答を公表せよと通達がありましたが多くの大学が積極的ではありません．
それは，大学側が，受験生は自由に解答を作りなさい．私たちは皆さんの解答を正当に評価してあげますよ．言い方を変えるとそれほど丁寧に答案を読んでいますよという意味だと思います． もう一つ理由を考えるなら，模範解答をだすと， それが独り歩きすることを恐れたのでしょう．簡略して書けば，こんなもんでいいのかと思われる，丁寧に書けば， つまらないことに労力を使うことになり，数学の目的が薄れてしまう．ということがあるからだと思います．

大学入試を考えるとき，大学入試結果のこれからの人生に与える影響や高校生の勉強量を考えたとき， 中国や韓国の入試制度が参考になるのは当然です．欧米の高校生の大学入試に対するとらえた方は日本の 高校生とは大分異なるでしょう．
私は，中国の高考の問題を見たとき少し驚きました．というのは，数学オリンピックの中国の成績を考えたとき， そして勉強時間も日本の高校生より多いと聞いていたので，優秀な生徒の層は日本より厚いでしょうし， 相当難しいと覚悟していました．
高考の問題を解いて，最初に感じたことは(20)のような難問もあるが比較的解きやすい問題があるなでした． しかし，よく考えてみると，高考の受験者はおよそ1000万人と驚く程多く， 中国の都市部と農村部の教育格差はまだ大きい実情をふまえ受験者を増やし 高考を通して国民の基礎学力の底上げを図ろうとしているようにも思える． 出題の意図は外国人には理解できないでしょう．
受験生が1000万人の共通テストではこの問題が限界ですというより驚くほど優れた入試問題です． ただこの問題では難関大学志願者に差をつけるのは難しいでしょう(高得点を取るには思考力より瞬発力が必要)． それは日本の制度で，数学の知識が不正確でもセンターテストだけは高得点が取れる生徒がいることからも分かるし， 専門家にとっては百も承知のことでしょう．
第１日の試験では難問を減らし，第3日に(19),(20)程度の問題による２次試験を 難関大学志望者用に実施出来たら優れた制度になるような気がします．
日本の入試制度は，2次試験の採点業務という 大学の先生の苦労のもとで成り立つことですが，優秀な高校生を選別することができる優れた制度です． これは日本の入試だけを見ていては気が付かないことです．この点にもう少し目を向けるべきでしょう．

日本の大学入試を考えるときに無視できないものにAO入試，推薦入試があります．これはアメリカの制度を 導入したものでしょう．外国の良い制度を日本に導入することに異論をはさむつもりはないが，SATやACT の数学の問題を解くと，これだけでは難関大学の選考はできないでしょう(数学以外の難易度は判断で きないので決めつけることはできないが). その中で考えられた制度のような気がします．
日本のAO入試，推薦入試は多様な選択方法という名のもとの青田刈りです．大学，高校ともwin-winの関係でどこからも 文句が出ません．しかし，高校現場からすると受験生の担任としてはありがたいのはわかりますが教科担当としては 高校教育をないがしろにする迷惑な制度です．
高校では，部活動もあるし，体育祭，文化祭等の活動もあります．多くの生徒は高校3年６月ごろから本格的な受験勉強に入ります． 10月，11月頃は一番大事な時で，その時に受験をする生徒がいるととても指導が煩雑になる．さらに，一定数の合格者が出るということは， 指導上難しいことがある．
大学の経営には資することはあるだろうが，AO入試や推薦入試は，大学の教育内容で自由競争するという基本からは大分外れている制度である．

自然科学で日本の研究レベルが落ちたとか，影響を与える論文数が減ったということをよく耳にします．
日本の研究環境は以前より悪くなったのでしょうか．私に日本の研究環境を述べる資格はありません．しかし，私の学生時代(1970年代の上智大)を思い返せば， 先生は積極的に入試にもかかわったし，学生の面倒もとても丁寧でした．授業もとても充実していたと思います． 例えば，ある授業では，毎回レジュメが授業の最初に配られ，それに沿って 講義していました．
今もそうなのでしょうが，以前もやはり雑用も多く，劣悪な環境で研究に励んでいたのでしょうし，古来研究とはそういうものなのでしょう．
さらに冷静になって考えればわかるように，世界をリードするような論文を執筆する研究者は， 自分で切り拓いていくのですから環境に影響されないでしょう．
多分，一番の問題は医学部の異常な人気です．各大学で，医学部とそれ以外の学部の入試成績を取り寄せて調べたらわかると思います．
もちろん学部，学科ごと採点基準を決めて別々に採点するので正確には比べられないでしょうが， 優秀な生徒が医学部に流れているのに驚くでしょう．
明らかに，以前なら数学科や物理学科等の自然科学を選ぶであろう生徒が医学部に流れています． それが特に女性では顕著です．
優秀な人材が医学界に集中する弊害は自然科学だけでない，至る分野，例えば経済力 の地盤沈下につながっているのかもしれません．
医学部にこれだけ優秀な生徒が集まるのが健全な国家でしょうか．もちろん医療従事者にとっては心地よいかもしれません． 医師の仕事も研究，診察，介護等多岐にわたります．また，良い医者になるだろうなと思うが成績より断念している高校生は沢山います．そして地方の医師不足を 考えるとなぜ医学部の定員増ができないのか． 獣医学部でさえ定員増はあれだけ難しいかったので簡単ではないと承知しているが， ちょっと大げさですが，日本の自然科学の存亡にかかわると考えるなる，避けて通れない問題です．

中国の高考にかこつけて，いろいろ書きました．大学入試一つとっても，高校教師から見る景色は一般の方とは 大分異なるのではないでしょうか．これからの大学入試の制度改革に役に立てば幸いです．

以下，2019年度の高考の問題を紹介します．
公表されている問題および解答は次をご覧ください．

中国の大学入試問題(北京版)

解答

解答は，当然中国語ですが，問題を見てから読めば十分理解できます．

2019年　全国統一試験，数学（理系）北京問題

この問題は５ページよりなる．
配点１５０点．制限時間　１２０分．
受験生は必ず答えを解答欄に記入すること．答案用紙上のそれ以外の解答は無効である．
試験終了後，問題用紙，解答用紙はともに回収する．

第1部（選択問題　　配点40点）

1.選択問題で8問よりなる．配点は各問5点合計40点．
各設問のなかの４つの選択肢より求められた符号を一つ選びなさい．

$(1)$ 複素数$z=2+i$が与えられたとき$z\cdot \bar{z}=$
$(A) \ \sqrt{3} \hspace{5cm} (B) \sqrt{5}$
$(C) \ 3 \hspace{5.5cm} (D) \ 5$

$(2)$図の流れ図を施行したとき得られる$s$の値は
$(A) \ 1$
$(B) \ 2$
$(C) \ 3$
$(D) \ 4$

$(3) \ $直線$l$の媒介変数方程式が
$\begin{cases} x=1+3t\\ y=2+4t \end{cases}\hspace{2cm}(t\text{は媒介変数})$
のとき，点$(1,0)$と直線$l$の距離は
$(A)\ \dfrac{1}{5}\hspace{5cm}(B) \dfrac{2}{5}$
$(C)\ \dfrac{4}{5}\hspace{5cm}(D) \dfrac{6}{5}$

$(4) \ $楕円$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \ (a > b > 0)$の離心率が$\dfrac{1}{2}$のとき
$(A) \ a^2=2b^2 \hspace{5cm} (B) 3a^2=4b^2$
$(C) \ a=2b \hspace{5.5cm} (D) \ 3a=4b$

$(5) \ x,y$が
$|x|\leqq 1-y$かつ$y\geqq -1$
を満たすとき$3x+y$の最大値は
$(A) \ -7 \hspace{5cm} (B) \ 1$
$(C) \ 5 \hspace{5.5cm} (D) \ 7 $

$(6)$天文学で天体の明るさは等星または光度で表す．２つの星の等星と光度は次の式を満たす．
$m_2-m_1=\dfrac{5}{2}\log _{10}\dfrac{E_1}{E_2},$この式で等星$m_k$の星の光度は$E_k \ (k=1,2)$.
太陽の等星$-26.7$,シリウス星の等星$-1.45$は知られている．このとき，太陽とシリウス星の光度の比は
$(A) \ 10^{10.1} \hspace{6cm} (B) \ 10.1$
$(C) \ \log 10.1 \hspace{5cm} (D) \ 10^{-10.1}$

$(7) \ $点$A,B,C$は一直線上にはない．このとき，$AB$と$AC$のなす角が鋭角は$|AB+AC| > BC$が成り立つための
$(A)$十分条件であるが必要条件でない　$\hspace{2cm} (B)$必要条件であるが十分条件でない
$(C)$必要十分条件　$\hspace{5cm} (D)$必要条件でないし十分条件でもない

$(8)$数学の中にはいくつかの形や寓意が美しい曲線があり，曲線
$C:x^2+y^2=1+|x|y$
もその中の一つである(右図)．以下の3つの結論
�@ 曲線$C$はちょうど６個の格子点($x,y$座標ともに整数である点)を通る．
�A 曲線$C$上のどの点も原点との距離は$\sqrt{2}$を超えない．
�B 曲線$C$の囲んだ"ハート形"の面積は$3$より小さい．
のうち，正しい結論の記号は
$(A)$ �@$\hspace{5.5cm}(B)$ �A
$(C)$ �@ �A$\hspace{5cm}(D)$ �@ �A �B


第2部（非選択問題　　配点110点）

2.空所補充問題で6問よりなる．配点は各問5点合計30点．

$(9)$ 関数$f(x)=\sin ^22x $ の最小正周期は$\underline{\hspace{3cm}}$.

$(10)$ 等差数列$\{a_n\}$の最初の$n$項の和を$S_n$とする．$a_2=-3,S_5=-1$のとき
$a_3=\underline{\hspace{3cm}}$, $S_n$の最小値は$\underline{\hspace{3cm}}$.

$(11)$ ある立体は1つの立方体から１つの四角柱を取り除いたもので，その投影図は右図である． 方眼紙の小正方形の1辺の長さが１のとき，この立体の体積は$\underline{\hspace{3cm}}$．

$(12) \ l,m$は平面$\alpha$外の2本の異なる直線である．以下の３条件
�@　$l\perp m:$�A　$m$‖$\alpha:$�B　$l\perp \alpha$
のうち２つの条件を仮定，残りの一つを結論をとする真の命題は$:\underline{\hspace{3cm}}$．

$(13) \ f(x)=e^x+ae^{-x}$が与えられている．もし$f(x)$が奇関数なら$a=\underline{\hspace{3cm}}:$ もし$f(x)$が$\mathbb{R}$上増加関数なら$a$の取りえる値の範囲は$\underline{\hspace{3cm}}$.

$(14)$李明は起業した．ネット上で果物店を開業した．売る果物の中にイチゴ，ナシ，スイカ，桃があり，値段は それぞれ一箱あたり60元，65元，80元，90元である．売り上げを増やすため，李明は売り出しを行った： 一度に買う果物が120元に達したなら，お客に$x$元値引きした．
それぞれの注文の支払いが終了後，李明は 支払額の80％を得る．
�@　$x=10$のとき，お客がイチゴとスイカをそれぞれ一箱ずつ購入したら，必要な支払額は$\underline{\hspace{3cm}}$元：
�A　売り出し期間中，李明がそれぞれの注文で得る金額がすべて売り出し以前の金額の7割を保証するとき，$x$ の最大値は$\underline{\hspace{3cm}}$.

3.記述問題で6問よりなる．配点は合計80点．解答は演算の段取りや証明の過程を文字で説明せよ．

$(15)$(配点13点)
$\triangle ABC$で,
$a=3,b-c=2,\cos B=-\dfrac{1}{2}$.
(�T)　$b,c$の値を求めよ：
(�U)　$\sin (B-C)$の値を求めよ．

$(16)$(配点14点)
図のように，四角錐$P-ABCD$において
$PA\perp \text{平面}ABCD,AD\perp CD,$
$AD$‖$BC,PA=AD=CD=2,BC=3.$
$E$は$PD$の中点で，点$F$は$PC$上，かつ
$\dfrac{PF}{PC}=\dfrac{1}{3}.$
(�T)　$CD\perp \text{平面}PAD$を証明せよ：
(�U)　2面角$F-AE-P$の余弦を求めよ：
(注　2平面$FAE,PAE$のなす角の余弦)
(�V)　$G$は$PB$上でかつ$\dfrac{PG}{PB}=\dfrac{2}{3}$を満たす． 直線$AG$は平面$AEF$内にあるかどうかを判断し理由を説明せよ．

$(17)$ 改革開放(注　文化大革命以降の開放政策)以来，人々の支払方法に大きな変化が起こった．最近，モバイル決済はすでに主要な 支払方法の一つである．ある学校の生徒の先月の$A,B$2種類のモバイル決済の使用状況を調べるために，全校生徒から$100$ 人を無作為抽出したところ，$A,B$のモバイル決済をともに使用していない生徒は$5$人いて，サンプルの中で$A$ だけを使用しているおよび$B$だけを使用している生徒の支払金額の分布情況は以下の通りである：

$(18)$ 放物線$C:x^2=-2py$は点$(2,-1)$を通る．
(�T)　放物線$C$およびその準線の方程式を求めよ．
（�U）$O$を原点とする．放物線$C$の焦点を通る傾き$0$でない直線$l$と放物線$C$との 交点を$M,N$.直線$y=-1$と直線$OM,ON$との交点をそれぞれ$A$および$B$とする． このとき，$AB$を直径とする円が通る$y$軸上の2定点を求めよ．

$(19) \ f(x)=\dfrac{1}{4}x^3-x^2+x$である．
(�T)　曲線$y=f(x)$の傾き$1$の接線の方程式を求めよ:
(�U)　$x\in [-2,4]$のとき$x-6\leqq f(x)\leqq x$が成り立つことを証明せよ：
(�V)　$F(x)=|f(x)-(x+a)| \ (a\in \mathbb{R})$とおく．$F(x)$の区間$[-2,4]$ における最大値を$M(a)$とする．このとき，$M(a)$の最小値およびそのときの$a$の値を求めよ．

$(20)$　数列$\{a_n\}$が与えられている．この数列の中から第$i_1$項，第$i_2$項，$\cdots $,第$i_m$項 $(i_1 < i_2 < \cdots < i_m)$をとる．もし
$a_{i_1} < a_{i_2} < \cdots < a_{i_m}$
を満たすなら，新数列$a_{i_1},a_{i_2},\cdots ,a_{i_m}$を数列$\{a_n\}$の長さの$m$単調増加部分列とよぶ．ここで， 数列$\{a_n\}$の任意の項は$\{a_n\}$の長さ１の単調増加列と定める．
(�T)　数列$1,8,3,7,5,6,9$の長さ4の単調部分列を一つ書け：
(�U)　数列$\{a_n\}$の長さ$p$の単調増加部分列の末項の最小値が$a_{m_0}$とし，長さ$q$の単調増加部分列の末項の 最小値を$a_{n_0}$とする．このとき，もし$p < q$なら$a_{m_0} < a_{n_0}$であることを証明せよ：

(�V)　無限数列$\{a_n\}$の各項はすべて正整数であり，かつ任意の2項はすべて等しくないとする． もし$\{a_n\}$の長さ$s$の単調増加部分列の末項の最小値が$2s-1$でかつ長さ$s$,末項$2s-1$の単調増加部分列がちょうど $2^{s-1} \ (s=1,2,3,\cdots )$個存在する．このとき数列$\{a_n\}$を表す式を求めよ．

（受験生は必ず答えを解答欄に記入すること．答案用紙上のそれ以外の解答は無効である）

以上が問題です．解答は日本と中国では若干異なります．以下，日本でも出題されてもおかしくない問題を中心に 日本流の解答を述べます．

解答例
問題(8)
�@　$x=\pm 2$のとき$y$は曲線$C$上の点は存在しないし，$y=\pm 2$のとき$C$上の点は存在しない．
したがって，$x=-1,0,1,y=-1,0,1$の場合だけ調べればよい．
実際に調べ$C$上の格子点は
$(x,y)=(1,1),(0,1),(1,0),(-1,1),(-1,0),(0,-1)$
の６個である．

�A　曲線$x^2+y^2=1+xy$と円$x^2+y^2=2$の共有点をもとめる．
2式の差より$xy=1$
$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=(x+y)^2-2$
より
$(x+y)^2=4$
$x+y=\pm 2$
$\begin{cases}x+y=2\\xy=1\end{cases}$
のとき2次方程式
$t^2-2t+1=0$
を解き$x=1,y=1$
同様に $\begin{cases}x+y=-2\\xy=1\end{cases}$
をとき$x=-1,y=-1$
曲線$x^2+y^2=1+|x|y$は$y$軸に関して対象で$x\geqq 0$のとき
$x^2+y^2=1+xy$
したがって，曲線$x^2+y^2=1+|x|y$と円$x^2+y^2=2$の共有点は$(1,1),(-1,1)$だけである．
したがって，曲線$C$上のどの点も原点との距離は$\sqrt{2}$を超えない．
�B 右図のように，曲線$C$による頂点が格子点を図形を考え，面積が3より大きいことがわかる．
この解法はとても大事だが，積分を学んでいれば次のように直接面積を求めてもい．
図形が$y$軸に関して対象であることより
$x^2+y^2=1+xy$
で囲まれた面積を求めればよい．
$y$について解けば
$y=\dfrac{x\pm \sqrt{4-3x^2}}{2}$
求める面積は
$\displaystyle 2\int_0^{\frac{2}{\sqrt{3}}}\sqrt{4-3x^2}dx=\dfrac{2\pi}{\sqrt{3}} \ ( > \pi > 3)$

次のように解いてもよい．
$x^2+y^2=1+xy$は2次曲線であるから，楕円，放物線，双曲線のいずれかである．一方�Aより円に含まれるから楕円である．
この楕円は中心が原点で，原点から一番離れた点が$(1,1),(-1,-1)$より長軸の長狭は$2\sqrt{2}$. $y=-x$との交点を求め，短軸の長さは$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
したがって，この楕円は
$\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{3y^2}{2}=1 \cdots (\sharp)$
を原点の周りに$\frac{\pi}{4}$回転したもの．
$(\sharp)$は単位円を$x$軸方向に$\sqrt{2}$倍，$y$軸方向に$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$倍したものであるから， この楕円の面積は$\frac{2}{\sqrt{3}}\pi$.

問題(16)
(�U)　外積が使えれば面$FAE,PAE$の法線ベクトルを求めて，そのなす角を求めてもよいが，2平面のなす角の 定義に従い，各平面上で交線$AE$に垂線を下ろしそのなす角を求める．
$\angle PAE=\dfrac{\pi}{2}$
はわかりやすい．
面$FAE$上で$F$から$AE$におろした垂線の足を求める必要があるが， $AE\perp PD,AE\perp CD $
$ (\because CD\parallel x軸 ,x軸\perp AE)$
したがって，$FE\perp 面PAB \ \ \therefore \angle FEA=\frac{\pi}{2}$
したがって，$\angle PEF$が２平面のなす角である．
$\triangle PCD$は直角三角形に注意する．実際，
$PD=2\sqrt{2},CD=2,PC=2\sqrt{3}$
さらに，
$PE=\sqrt{2},PF=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$
したがって，
$PF:PE=\dfrac{2}{\sqrt{3}}:\sqrt{2}=\sqrt{2}:\sqrt{3}=AD:AC$
$\triangle PDC$∽$\triangle　PFE$
より
$\cos \angle PFE=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
(�V) 座標軸を右上図のように定める．すなわち，頂点を$A$を原点，$AD$を$y$軸，$AP$が$z$軸，$x$軸，$y$軸，$z$軸が 右手系をなすように定める．
このとき
$E(0,1,1),F(\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{3},\dfrac{4}{3}),G(\dfrac{4}{3},-\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{3})$
$\overrightarrow{AG}$が$\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AF}$の一次結合で表せるかどうかを調べればよい．
ベクトルは定数倍してよいから
$\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}=k\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix} +l\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$
を満たす$k,l$が存在するか，すなわち連立方程式
$\begin{cases}l=2\\k+l=-1\\k+2l=-1\end{cases}$
が解を持つかどうかを調べればよい． 第１，２式より$l=2,k=-3$を得，それが第3式を満たすから，$\overrightarrow{AG}$は$\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AF}$の一次結合で表せる．始点が 同じであるから，直線$AG$は平面$AEF$内に存在する．

問題(17)
　 (�V)　モバイル決済Aだけの使用者のうち，金額が2000元を超える支払をした生徒の人数が変わらなかったと仮定する．
このとき，Aだけの使用者から3人を無作為抽出したとき，この３人がともに支払金額が2000元を超える確率は
$\dfrac{_3C_3}{_{30}C_3}=\dfrac{3\cdot 2\cdot 1}{30\cdot 29\cdot 28}=\dfrac{1}{4060}$
確率$\frac{1}{4000}$の事象が起こることは殆ど考えらないから，今月のAだけの使用者で支払額が2000元を超えた生徒は 増加していると考えたほうが妥当である．
この解答は，統計学における検定の考え方である，検定とは，仮説を立て(この例でいうと， 支払金額が2000元を超える生徒は変化がないと仮定)，実際に起こった事象(無作為に３人を選んで調べたら３人とも支払額が2000元を超えていた)が， a ％より小さいとき，有意水準a ％のもとで，その仮説を否定する．なお，ここで用いたa ％は，正規分布の性質より， 5％または1％を用いることがおおい．
なお，この問題の採点は，結論とその理由の整合性を重視しているようである．

問題(18)
　 (�U)　放物線$C:x^2=-4y$,焦点$F(0,-1)$である．
焦点を通る傾き$m$の直線
$l:y=mx-1$.
$x^2=-4(mx-1)$
$x^2+4mx-4=0$
の解を$\alpha,\beta$とすると，解と係数の関係より
$\alpha +\beta =-4m,\alpha \beta =-4\cdots (\sharp)$
一方，
$M(\alpha ,-\dfrac{\alpha ^2}{4}),N(\beta,-\dfrac{\beta ^2}{4})$
より
$A(\dfrac{4}{\alpha},-1),B(\dfrac{4}{\beta},-1)$
次に線分$AB$を直径とする円の方程式を求める．
円の中心と半径を求めてもよいが，円上の点$P(x,y)$は$\angle APB=\pi$であることを用いて
$\overrightarrow{AP}=(x-\dfrac{4}{\alpha},y+1)$,$\overrightarrow{BP}=(x-\dfrac{4}{\beta},y+1)$
より
$(x-\dfrac{4}{\alpha})(x-\dfrac{4}{\beta})+(y+1)^2=0$
整理して
$x^2-\dfrac{4(\alpha +\beta)}{\alpha \beta}x+\dfrac{16}{\alpha \beta}+(y+1)^2=0$
解と係数の関係$(\sharp)$を代入し
$x^2+y^2-4mx+2y-3=0$
この円の式を$m$で整理する．
$-4mx+(x^2+y^2+2y-3)=0$
である．したがって，この円は$m$の値によらず
$\begin{cases}x=0\\x^2+y^2+2y-3=0\end{cases}$
の交点，すなわち$y$軸上の点
$(0,1),(0,-3)$
を通る．

問題(19)
　 (�V)　$y=f(x)-(x+a)=\dfrac{x^3}{4}-x^2-a$
のグラフは$y=\dfrac{x^3}{4}-x^2$のグラフを$y$軸 方向に$-a$だけ平行移動したグラフ．
$y=\dfrac{x^3}{4}-x^2$
を微分すると
$y'=\dfrac{3x^2}{4}-2x=\dfrac{3}{4}x(x-\dfrac{8}{3})$
より増減表は(グラフは右図)
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x & -2 & \cdots & 0 & \cdots & \frac{8}{3} & \cdots & 2 \\ \hline y' & & + & 0 & - & 0 &+ & \\ \hline y &-6 & \nearrow & 0 & \searrow & -\frac{64}{27}&\nearrow & 0 \\ \hline \end{array}$
$y=|f(x)-(x+a)|$のグラフは，$x$軸より下の部分を折返したものであるから $y=|f(x)-(x+a)|$の最大値は，$y=f(x)-(x+a)=\dfrac{x^3}{4}-x^2-a$の正の最大値と負の最小値の絶対値の大きいほうである．
$-a\leqq 0,6\leqq -a$のとき，$[-2,6]$における$y=|f(x)-(x+a)|$の最大値は$6$以上になるから
$0\leqq -a \leqq 6$
すなわち
$-6\leqq a \leqq 0$
の時考えればよい．
このとき$y=f(x)-(x+a)=\dfrac{x^3}{4}-x^2-a$の正の最大値は$x=0,4$でとり，負の最小値は$x=-2$でとり，その絶対値が等しい時が 条件を満たす場合である．
したがって，最大値$M(a)$が　最小になる$a$は$a=-3$の時である．

問題(20)
　 (�U)　長さ$q$の単調増加列のうち，末項が最小のもの一つを
$\{a_{i_1},a_{i_2},\dots ,a_{i_q}\}$
とする．$p < q$のとき，この部分列の一つである
$\{a_{i_1},a_{i_2},\dots ,a_{i_p}\}$
は長さ$p$の単調増加部分列で$a_{i_p} < a_{i_q}$
長さ$p$の単調増加列の末項の最小値は$a_{i_p}$以下であるから題意が成り立つ．
(�V)どのような数列であるか知るために，$s=1,2,3,\dots$のときどうなるか具体的に見ていこう．
$s=1$のとき，$2s-1=1$であるから数列$\{a_n\}$の項の中に$1$を含む．
$s=2$のとき$2s-1=3$である．したがって，$3$の前に$1,2$があり
$2,1,\dots ,3,\dots$
となっている．なぜなら，$1,2,\dots $なら$s=2$の時の単調増加列の末項の最小値が$2$となる．
$s=3$のとき$2s-1=5$である．したがって，$2,1$と$5$の間に$4,3$の順番にある．すなわち
$2,1,4,3,\dots ,5,\dots$.
$s=4$のときは$2s-1=7$で同様の理由により
$2,1,4,3,6,5,\dots ,7,\dots$
以上の議論よりもとめる数列は
$\overbrace{2,1},\overbrace{4,3},\overbrace{6,5},\dots ,\overbrace{2n,2n-1},\dots　$
と予想できる．この数列が題意を見たすことを証明しよう．
この数列は各項が正の整数で，どの2つも同じものはない．長さ$s$の単調増加列の末項の最小値は$2s-1$で， 末項が$2s-1$の単調増加列は,２つずつ組にしてどちらかを選べばよいから，$2^{s-1}$個存在する．よって条件を満たすことが分かった．
したがって求める数列$\{a_n\}$は
$a_n=\begin{cases}n+1 \ \ (nが奇数)\\n-1 \ \ (nが偶数)\end{cases}$
である．

受験生が苦労しそうな問題を中心に解答を作りました．
カリキュラム内容や大学入試問題は，各国それぞれ長い歴史と経緯があるので簡単に比較はできない．
ここでは客観的に読み取れる内容を述べる．
日本と中国の高等学校におけるカリキュラムは概ね変わらないことがわかる．
日本では教えるが，中国では教えない内容は２つあり，
一つは，複素数の幾何学的取り扱い． もう一つは，積分である．微分は教えるが積分は教えないようである．微分はそれほど重要視していないようで， 日本では真っ先に教える増減表を教えないようである．例えば，問題(19)は，増減表を書きグラフを書けば容易に 導き出せるが，増減表を用いないので,すなわち関数全体を見ることができないので， 受験生は難問と感じたのではないでしょうか．
逆に，日本で教えない内容は投影図があります．投影図は中学で教えると思いますが，投影図で立体を考え， 体積を求めることは，時間をかけて学ぶ題材には違いがありません．

試験時間は120分．問題の内容は簡単な問題から比較的難しい問題まで満遍なく出題されています．問題も多く， 実際に解いてみると，時間内に高得点を得るのは相当の実力が必要であることがわかります． 問題を眺めて目を引くのは問題(20)です．日本の大学入試問題に次があります(紹介するのは，少し古い問題です．探せば最近のでも見つかるでしょう)．

問題(20)類題1
数列$\{a_n\}$において，$a_1=1$であり，$n\geqq 2$に対して$a_n$は，次の条件(1),(2)を満たす自然数のうち 最小のものであるという．
(1) $a_n$は$a_1,\dots ,a_{n-1}$のどの項とも異なる．
(2) $a_1,\dots ,a_{n-1}$のうちから重複なくどのように項を取り出しても，それらの和が$a_n$になることはない．
このとき，$a_n$を$n$で表し，その理由を述べよ．

解答

問題(20)類題2
自然数$n$と$n$項数列$a_k (1\leqq k\leqq n)$が与えられていて，次の条件(イ)，(ロ)を満たしている．
(イ)　$a_k (1\leqq k\leqq n)$はすべて正整数で，すべて$1$と$2n$の間にある，$1\leqq a_k\leqq 2n.$
(ロ)　$\displaystyle s_j=\sum_{k=1}^ja_k$とおくとき，$s_j$はすべて平方数である．
このとき
(1) $s_n=n^2$であることを示せ．
(2) $a_k (1\leqq k\leqq n)$を求めよ．

解答

さて，話題を変え，日本の共通テストとして，中国で実施された記述式の問題が出題されたとして， 可能かどうかを考えてみましょう．
日本で実施するとなると次のようになるでしょう．問題(16),(18),(19)が記述式の対象となるでしょう． それらを書き直します．なお，問題(20)の採点はとても大変です．

問題１
図のように，四角錐$P-ABCD$において
$PA\perp \text{平面}ABCD,AD\perp CD,$
$AD$‖$BC,PA=AD=CD=2,BC=3.$
$E$は$PD$の中点で，点$F$は$PC$上，かつ
$\dfrac{PF}{PC}=\dfrac{1}{3}.$
(�T)　2平面$FAE,PAE$のなす角を$\theta$とするとき$\cos \theta$を求めよ．
(�U)　$G$は$PB$上でかつ$\dfrac{PG}{PB}=\dfrac{2}{3}$を満たす． 直線$AG$は平面$AEF$内にあるかどうかを判断し理由を説明せよ．

問題２
放物線$C:x^2=-2py$は点$(2,-1)$を通る．
$O$を原点とする．放物線$C$の焦点を通る傾き$0$でない直線$l$と放物線$C$との 交点を$M,N$.直線$y=-1$と直線$OM,ON$との交点をそれぞれ$A$および$B$とする． このとき，$AB$を直径とする円が通る$y$軸上の2定点を求めよ．

問題３
$f(x)=\dfrac{1}{4}x^3-x^2x$である．
$F(x)=|f(x)-a| \ (a\in \mathbb{R})$とおく．$F(x)$の区間$[-2,4]$ における最大値を$M(a)$とする．このとき，$M(a)$の最小値およびそのときの$a$の値を求めよ．

この問題なら日本で実施しても無難なレベルです．
日本で実施ができないとした理由は2つあり
1.採点者が業者(福武書店)では，採点の信頼ができない．
2.受験生が自己採点できない
です．この2点を考えてみましょう．
１については，大学入試ですから，大学の教員が責任をもって採点するのが当然ですが，すでに述べたように，大学は，個別入試の対応で 精一杯なのでしょう．共通テストの採点を大学が拒否するのは当然でしょう．
それでは，業者に任せたらどうでしょう．この程度の問題なら採点でまぎれることや，受験生の解答の意図を読み取れないこともなく， 大きな困難はないでしょう．国立大学2次試験の問題とは大分異なります.ちなみに(20)は２次試験レベルです．
2についてはどうでしょうか．記述式の共通テストが実施されれば，普段の授業でも答案の 添削が返却されるであろうし，何度か模擬試験を受けます． ある一定の実力さえあれば，自己採点が無理だとは思いません． 何よりも，普段の授業でも，生徒は記述答案を書く必要があり，教員はその添削が必要になってきます． これが重要なことです．これこそが血のかよったAIに負けない授業です．
記述答案の採点を教員が労働強化と考えるか，自己啓発の機会と考えるかで意見が分かれるでしょう．またコストパフォーマンスを主張する方もいるでしょう．
ただ，殆どの受験生が受ける共通テストの改革は間違いなく中高生の学び方に大きな影響を与えます． 十分に検討され大学入試の制度改革がなされることを期待します．