解答
まず，$a_1,a_2,a_3,\dots$と調べていく．
$a_1=1,a_2=2$
$a_1+a_2=3$であるから$a_3=4$
$a_1+a_2+a_3=7$であるから$a_4=8$
$a+1+a_2+a_3+a_4=1+2+4+8=15$より$a_4=16$
以上より$a_n=2^{n-1}$と推測できる．
数列$a_n=2^{n-1}$が条件を満たすこと示せばよい．
(1)は明らか．
(2)を満たす最小のものである，すなわち
$1,2,\dots ,2^{n-1}$のうち重複なくどのように取り出してもその和は$2^n$より小さく， $2^n$より小さい正の数は$1,2,\dots ,2^{n-1}$より重複なく取り出した和で表せることを示せばよい．
これは，$1+2+\dots +2^{n-1}=2^n-1$
であり，さらに，$2^n-1$以下の数は2進数表示を考えることにより，$1,2,\dots ,2^{n-1}$より重複なく 取り出した和で表せる．
したがって，$a_n=2^{n-1}$である．

問題(20)類題2
自然数$n$と$n$項数列$a_k (1\leqq k\leqq n)$が与えられていて，次の条件(イ)，(ロ)を満たしている．
(イ)　$a_k (1\leqq k\leqq n)$はすべて正整数で，すべて$1$と$2n$の間にある，$1\leqq a_k\leqq 2n.$
(ロ)　$\displaystyle s_j=\sum_{k=1}^ja_k$とおくとき，$s_j$はすべて平方数である．
このとき
(1) $s_n=n^2$であることを示せ．
(2) $a_k (1\leqq k\leqq n)$を求めよ．

解答
$a_n > 0$より$s_n$は増加列で平方数であるから$a_n \geqq n^2$
$a_n > n^2$と仮定する.
$s_n=(n+p)^2 \ (p\geqq 1)$とおくと$s_{n-1} \leqq (n+q-1)^2$
したがって
$a_n\leqq (n+p)^2-(n+p-1)^2=2(n+p)-1=2n+(2p-1)\geqq 2n+1$
これは$a_n \leqq 2n$に反するので$s_n=n^2$が証明された.
$\{s_n\}$は増加列でかつ平方数であるから$a_k=k^2 (1\leqq k\leqq n)$が分かる．
したがって
$a_k=s_k-s_{k-1}=k^2-(k-1)^2=2k-1 \ \ (2\leqq k \leqq n)$
$a_1=1$
まとめて
$a_k=2k-1 \ (1\leqq k \leqq n)$
となる．

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