反転とその応用

5. Steiner Chain 

反転を用いると簡単に証明できる内容に

定理
交わらない2円はある反転変換で同心円に変換することができる



があります.ここではこの定理を証明し,この定理をいくつかの問題に応用します.

この定理を証明するには,2円の根軸と共軸円系の知識が必要なので,その解説からはじめます. なお,ここでは説明を簡潔に行います.詳しい内容は根軸と共軸円系 をご覧ください.

同心円でない2円O,O’が与えられたとき,2円O,O’に関する方べきが等しい点Pの軌跡を2円O,O’ の根軸という.
まず,この根軸を求めよう.2円O,O’が同心円でないとき,直線OO’をx軸とする座標軸を導入して考える. 同心でない2円O,O’について,直線OO’をx軸とする座標軸を導入して考える.
2円の中心O,O’はx軸上にあるから, 円Oは
$x^2+y^2-2ax+b=0$ ・・・@
円O’は
$x^2+y^2-2a'x+b'=0$ ・・・A
と表せる.
2円O,O’の根軸は方べきの等しい点の軌跡であるから @−Aより
$2(a'-a)x=b'-b$
ここで,2円O,O’は同心でないから$a'\neq a$.
したがって,2円O,O’の根軸がy軸になるための条件は
$b=b'$
逆に,bは定数とし
$x^2+y^2-2ax+b=0$ ($b$は定数)・・・B
  と表せる円の集合を考えると,この集合に属する任意の2円の根軸はy軸である.

Bの円の集合のように,どの2つの円の根軸も一致する円の集合を共軸円系をなすという.
y軸が根軸である共軸円系の集合
$x^2+y^2-2ax+b=0$($b$は定数)・・・@
をもう少し調べよう.



(T)定数bが負のとき.
$b$を新しく$-b^2$とおけば
$x^2+y^2-2ax-b^2=0$ ・・・@
円@と根軸であるy軸との交点は $(0,b),(0,-b)$ であるから, 円@か必ず根軸上の点$(0,b),(0,-b)$を通る.
逆に$(0,b),(0,-b)$を通る円は
$x^2+y^2-2ax-b^2=0$
と表せる.



(U)定数bが0のとき.
円@は原点を通り,円の中心がx軸上より,円はy軸に接する.
このときは,全ての円はお互いに原点で接する円である.
逆に原点でy軸に接する円は $x^2+y^2-2ax=0$
と表せる.



(V)定数bが正のとき.
$b$を新しく$b^2$とおく.
$x^2+y^2-2ax+b^2=0$  ($b$は定数)・・・A
のとき,円Aは
$(x-a)^2+y^2=a^2-b^2$
したがって,$-b$<$a$<$b$ のときはAを満たす図形は存在しない.
$a=b,-b$ のときは点$(b,0),(-b,0)$を表し,
$a$<$-b$,$b$<$a$ のとき
$a^2-b^2-(a-b)^2=2(a-b)b>0$
より,円Aは$(b,0),(-b,0)$のいずれかを含む円の集合であり(Aの左辺に$x=b,y=0$または $x=-b,y=0$を代入し負になることを示しても良い),この 2点$(b,0),(-b,0)$をこの共軸円系の円の限点という.



さて,ここで扱うのは2円が交わらない場合,すなわち(V)の場合です.
2円O,O’の根軸上の点Cを取り,Cから2円O,O’に接線CP,CP’を引けば, CP=CP’ が成り立ちます. Cを中心に半径CPの円は円O,O’と直交します.さらに円Cと直線O,O’との交点 (2円O,O’の限点)をA,Bとします.
以上で次の証明する準備が整いました.

定理
交わらない2円はある反転変換で同心円に変換することができる

証明
交わらない2円O,O’の限点をA,Bとし,2円O,O’の根軸上に点C,C’をとる. C,C’を中心とする限点Aを通る円は それぞれO,O’に直交することに注意する.
点Bを中心とする円Bを反転円とする反転変換I(B)による,点Aの逆点をA’とすれば, I(B)による円C,C’の反形はそれぞれA’を通る直線であり.それをm,m’とする.
一方,円O,O’はそれぞれ円C,C’に 直交するから,円O,O’の反形はそれぞれm,m’に直交する円である,したがって,2円O,O’の反形の中心は2直線 m,m’上にあるから点A’である.したがって,2円O,O’の反形は同心円である.

以上で定理の証明が終了しました.ここで,1つだけ注意しなければならないことは,反転円Bの半径を変えたときです.
それは,反転の中心が同じBの反転変換$I(B,k^2),I(B,m^2)$の合成はBを中心とする 相似比$\dfrac{m^2}{k^2}$の相似変換$S(B,\dfrac{m^2}{k^2})$である.すなわち
$I(B,m^2) \circ I(B,k^2)=S(B,\dfrac{m^2}{k^2})$
が成り立つ.
これは
$I(B,m^2)=S(B,\dfrac{m^2}{k^2})\circ I(B,k^2)$
と書くこともできる.すなわち,反転円の大きさが異なるときの反形は相似変換による違いだけである.これは, 2円O,O’の反形は半径の比は変わらないということです.このことは,交わらない2円O,O’に対して,ある反転変換により 同心円にうつるが,2つの同心円の半径の比は,2円O,O’の固有な値であることが分かる.この内容は後で扱われます.

以上のことより,次の定理が成り立つことが分かる.

定理(Steiner Chain)
片方がもう一方に含まれる2つの円が与えらている.もしこの2つの円の間に両方の円に接しながら互いに外接する 円を順次描いていったとき,n回目の円がちょうど最初に描いた円に接するとする.このとき,与えられた2円の間 に接するように最初の円をどこにとっても,やはり同じくn回目の円は最初に円に外接する.


この定理の中に現れた,2つの円にはさまれた,隣り合う円が外接するn個の円が存在するとき,これらのn個の円は Steiner chain をなすという.
この定理の証明は最初に与えられた2円を,反転変換により同心円に移せば,その2円の半径の比はは一定である.

右図で
$\cos \theta =\dfrac{R-r}{R+r}=\dfrac{1-\dfrac{r}{R}}{1+\dfrac{r}{R}}$
したがって$\theta =\dfrac{\pi}{n}$の時には必ずn番目の円が最初の円に外接し, それ以外には定理のようなことは起こらない.
$\dfrac{r}{R}$ を実際に計算すると
$n=3$ のとき $\dfrac{r}{R}=7-4\sqrt{3}$
$n=4$ のとき $\dfrac{r}{R}=3-2\sqrt{2}$
$n=6$ のとき $\dfrac{r}{R}=\dfrac{1}{3}$




ここで,反転は複比を保つことを利用します. 右図で,4点$A,B,C,D$の逆点が$A',B',C',D'$です.
$〔A,B;C,D〕=\dfrac{AC\centerdot BD}{BC \centerdot AD}$
$〔A',B';C',D'〕=\dfrac{A'C'\centerdot B'D'}{B'C' \centerdot A'D'}$
である.左側の2円の,大円の半径を$R$,小円の半径を$r$,2円の中心間の距離を$d$とすると
$AC=R+d-r,BC=R-d+r,AD=R+d+r,BD=R-d-r$
したがって,
$〔A,B;C,D〕=\dfrac{(R+d-r)(R-d-r)}{(R-d+r)(R+d+r)}$
$=\dfrac{R^2+r^2-d^2-2Rr}{R^2+r^2-d^2+2Rr}=\dfrac{\dfrac{R^2+r^2-d^2}{2Rr}-1}{\dfrac{R^2+r^2-d^2}{2Rr}+1}$・・・@
一方,2円の反形である2円の大円,小円の半径をそれぞれ$a,b$とすると
$A'C'=a-b,B'C'=a+b,A'D'=a+b,B'D'=a-b$
であるから
$〔A',B';C',D'〕=\dfrac{(a-b)^2}{(a+d)^2}=\biggl(\dfrac{1-\dfrac{b}{a}}{1+\dfrac{b}{a}}\biggr)^2$・・・A
反転変換で複比が保たれますから,@とAは一致します.なお,Aにおける$\dfrac{b}{a}$の値が反転円の大きさに よらないことは すでに述べてあります.さらに,片方がもう一方を含む2円を与えたとき, その2円にはさまれた部分で互いに外接する円がSteiner chain をなすのは$\dfrac{b}{a}$の値で決まります.したがって,大円が小円を含み, 2円の半径をそれぞれ$R,r$,2円の中心の距離を$d$とする.このとき,この2円にはさまれた部分で互いに外接する円が Steiner chain をなすかどうかは
$\dfrac{R^2+r^2-d^2}{2Rr}$
の値で決まことが分かります.なお,この値は,三角形の内角の余弦を表す式を思い出せば分かりやすいと思います.

具体的に求めてみよう.6個の円がSteiner chain をなす場合が計算が簡単でこのときは$\dfrac{b}{a}=\dfrac{1}{3}$ である.ここで,$\alpha=\dfrac{R^2+r^2-d^2}{2Rr}$とおくと
$\dfrac{\alpha -1}{\alpha +1}=\biggl(\dfrac{1-\dfrac{1}{3}}{1+\dfrac{1}{3}}\biggr)^2$
この方程式を解くことにより
$\alpha =\dfrac{R^2+r^2-d^2}{2Rr}=\dfrac{5}{3}$
$\alpha $の値は相似変換をしても変らない,言い方を変えれば, 2円にはさまれた部分がSteiner chain を成すかどうかは相似変換をしても 変らない.したがって$R=1$として計算すると,
$3r^2-10r+3=3d^2$
左辺が0以上より
$\dfrac{1}{3}\leqq r<1$
を得る.等号が成り立つのは$d=0$.
この範囲に$r$があればそれにつれて$d$が定まる.なお大きい円の半径が$R$のときは全体を$R$倍すればよい.


反転とその性質の目次

全体の目次