6.チェビシェフ多項式 cos３θ＝４cos3θ−３cosθ が成り立ちます． この式より， ｆ（ｘ）＝４ｘ３−３ｘ とおけば， ｆ（cosθ）＝cos３θ となります． このように， cos２θ＝２cos2θー１ cos３θ＝４cos3θ−３cosθ cos４θ＝８cos4θ−８cos2θ＋１ より定まる多項式 ｆ２（ｘ）＝２ｘ２−１ ｆ３（ｘ）＝４ｘ３−３ｘ ｆ４（ｘ）＝８ｘ４−８ｘ２＋１ ・・・ をチェビシェフの多項式といいます． なお，チェビシェフの多項式は最良近似多項式としてもう一度扱う予定です． 大学入試問題では，このチェビシェフの多項式が題材になることがよくあります． 問題 ｆ（ｘ）＝ｘ３−３ｘ＋１，ｇ（ｘ）＝ｘ２−２ とし，方程式ｆ（ｘ）＝０について考える． このとき以下のことを証明せよ． （１）ｆ（ｘ）＝０は絶対値が２より小さい３つの相異なる実数解を持つ． （２）αがｆ（ｘ）＝０の解ならば，ｇ（α）もｆ（ｘ）＝０の解である． （３）ｆ（ｘ）の解を小さい順にα１，α２，α３とすれば ｇ（α１）＝α３，ｇ（α２）＝α１，ｇ（α３）＝α２ となる． （平成２１年神戸大） 解 （１）f'(ｘ)＝３ｘ２−３＝０よりｘ＝１，−１ および， ｆ（２）＝３，ｆ（１）＝−１，ｆ（−１）＝３，ｆ（−２）＝−１ より３つの解はすべて絶対値が２より小． （２）αがｆ（α）＝０のとき，ｆ（ｇ（α））＝０を示せばよい． ｆ（ｇ（α））＝ｆ（α２−２） ＝（α２−２）３−３（α２−２）＋１ ・・・@ @の値を計算するのに， ｈ（ｘ）＝（ｘ２−２）３−３（ｘ２−２）＋１ にｘ＝αを代入するのであるが，αはｆ（ｘ）＝０の解より，ｈ（ｘ）をｆ（ｘ）で割った余りに代入すればよい． ｈ（ｘ）をｆ（ｘ）で実際に割ればよいが ｈ（ｘ）＝ｘ６−６ｘ４＋９ｘ２−１ ＝（ｘ３−３ｘ＋１）（ｘ３−３ｘ−１） 
よりｈ（ｘ）はｆ（ｘ）で割り切れる．したがってｆ（ｇ（α））＝０が成り立つ． （３）（２）より，ｇ(α１)，ｇ（α２），ｇ（α３） はα１，α２， α３のいずれかである． α１＜０＜α２＜１＜α３であるから ｇ（α２）＜０ ∴ｇ（α２）＝α１（∵α１，α２，α３ の中で負のものはα１だけ） さらに，ｙ＝ｘ３−３ｘは原点に関して対称であるあるから ｘ３−３ｘ＝０の解と比較することより， │α２│＜│α３│＜│α１│ 
一方ｙ＝ｇ（ｘ）＝ｘ２−２はｙ軸に関して対称で０≦ｘで単調増加よりｇ（α２）＜ｇ（α３）＜ｇ（α１） したがって，ｇ（α３）＝α２，ｇ（α１）＝α３ ＜解説＞ まず，チェビシェフの多項式 ｙ＝４ｘ３−３ｘ と ｙ＝ｘ３−３ｘ の関係を調べよう． ｙ＝４ｘ３−３ｘ を原点を中心として２倍に相似変換した図形が ｙ＝４ｘ３−３ｘ である． 実際 Ｘ＝２ｘ，Ｙ＝２ｙ より ｘ＝Ｘ／２，ｙ＝Ｙ／２ を ｙ＝４ｘ３−３ｘ に代入すると Ｙ／２＝４（Ｘ／２）３−３（Ｘ／２） ∴Ｙ＝Ｘ３−３Ｘ ∴ｙ＝ｘ３−３ｘ 同様に２次のチェビシェフの多項式 ｙ＝２ｘ２−１ を原点を中心として２倍に相似変換した図形が ｙ＝ｘ２−２ である． ｆ（ｘ）＝４ｘ３−３ｘ， ｇ（ｘ）＝２ｘ２−１ のとき ｘ＝cosθ とおけば ｆ（cosθ）＝cos３θ であり ｇ（ｆ（cosθ））＝ｇ（cos３θ）＝cos６θ である. これらの知識があれば次のような解答になる． ＜問題の別解＞ ｆ（ｘ）＝ｘ３−３ｘ＝−１ の３解ｘは−２＜ｘ＜２を満たす． １つの解をｘ＝２cosθとおく． ｆ（２cosθ）＝８cos３θ−６cosθ＝−１ ∴４cos３θ−３cosθ＝−１／２ 左辺はcos３θであるから cos３θ＝−１／２ ０＜θ＜πより０＜θ＜３π したがって ３θ＝２π／３，４π／３，８π／３ ∴θ＝２π／９，４π／９，８π／９ したがって， ｘ３−３ｘ＝−１ の３解α１，α２，α３は， α１＝２cos(８π／９),α２＝２cos(４π／９)，α３＝２cos(２π／９) さらに， ｇ（ｘ）＝ｘ２−２ であるから ｇ（２cosθ）＝４cos２θ−２ ＝２（２cos２θ−１）＝２cos２θ したがって， ｇ（α１）＝２cos(１６π／９)＝２cos(２π／９)＝α３ ｇ（α２）＝２cos(８π／９)＝α１ ｇ（α３）＝２cos(４π／９)＝α２ 目次 |