5.関数$f(x)=\dfrac{\log x}{x}$について(続き) ここで，上に凸，下に凸の性質を整理しよう． すでに証明した性質， 命題 関数\(y=f(x)\)が区間$I$で下に凸(下に凸の定義は\(f"(x) > 0\))とし，この区間上に２点\(A,B\)をとる．このとき線分\(AB\)上の点は両端を除き関数\(y=f(x)\)のグラフの上側にある． 
証明２点\(A,B\)の\(x\)座標をそれぞれ\(a,b\)とし，２点\(A,B\)を通る直線の方程式を\(y=g(x)\)とする． \(F(x)=f(x)-g(x)\) とおくと， \(F(a)=0,F(b)=0\) であるから平均値の定理より \(F'(c)=0 \ \ (a < c < b)\) を満たす\(c\)が存在する． したがって増減表はつぎのようになる． $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x & a & \cdots & c & \cdots & b \\ \hline F'(x) & - & - & 0 & + & + \\ \hline F"(x) & + & + & + & + & + \\ \hline F(x) & 0 & \searrow & \text{極小} & \nearrow & 0 \\ \hline \end{array}$ 増減表より，$a < x < b$で$F=f(x)-g(x) < 0$が成り立つ． 増減表の説明が不親切かもしれない．もう少し説明すると次のようになる． 仮定で与えられることは $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x & a & \cdots & c & \cdots & b \\ \hline F'(x) & *1 & *1 & 0 & *2 & *2 \\ \hline F"(x) & + & + & + & + & + \\ \hline F(x) & 0 & *3 & *5 & *4 & 0 \\ \hline \end{array}$ で$*$を除いた部分． $F"(x)$が正より$*1$が$-$,$*2$が$+$がわかり，さらに$*3$が$\searrow$,$*4$が$\nearrow$,さらに$*5$ が極小となる． この命題の逆も証明しよう． 
命題関数\(f(x)\)のある区間$I$上における任意の２点\(A(x_1,f(x_1)),B(x_2,f(x_2))\)に対し， $x_1 < x < x_2$において$y=f(x)$のグラフが必ず弦$AB$の下側にあるときこの区間で$f"(x) > 0$が成り立つ． 証明 $f(x)$のグラフ上の弧$AB$の間に$C(x_3,f(x_3)) \ \ (x_1 < x_3 < x_2)$をとる． $x_1 < x < x_3$のとき $\dfrac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1} < \dfrac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}$ ($\because P(x,f(x)$が$AC$の下側にある） $x \to x_1$より $f'(x_1) \leqq \dfrac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}$ 同様に$x_3 < x < x_2$のとき $\dfrac{f(x_2)-f(x_3)}{x_2-x_3} \leqq f'(x_2)$ ここで $\dfrac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1} < \dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} < \dfrac{f(x_2)-f(x_3)}{x_2-x_3}$ より $f'(x_1) < f'(x_2)$ $f'(x)$は単調増加であるからこの区間で$f"(x) > 0$である． 以上の命題より 区間内において$f"(x) > 0$ $\Longleftrightarrow $ 区間内の任意の２点\(A(x_1,f(x_1)),B(x_2,f(x_2))\)の間に おいて,$f(x)$のグラフが必ず弦$AB$の下側にある が示され，下に凸の定義を同値な関係のどちらにしてもよいことがわかる． 同様に上に凸については次の式が成り立つ． 区間内において$f"(x) < 0 $ $\Longleftrightarrow $ 区間内の任意の ２点\(A(x_1,f(x_1)),B(x_2,f(x_2))\)の間に おいて,$f(x)$のグラフが必ず弦$AB$の上側にある． 区間$(a,b)$上の点は $(1-t)a+tb \ \ (0 < t < 1)$ または $sa+tb \ \ (s+t=1,0 < s,0 < t )$ と表せる. 
$A(a,f(a)),B(b,f(b))$のとき，区間$(a,b)$で$y=f(x)$のグラフが弦$AB$の下側にあることは$f(sa+tb) < sf(a)+tf(b) \ \ (s+t=1,0 < s,0 < t )$ と表すことも多い． $a,b$に対して$sa+tb \ \ (s+t=1,0 < s,0 < t)$を考えることは, もちろん$t:s$と内分することであるが，これは$a,b$の加重平均のことでもある． すなわち，$a$が$m$個，$b$が$n$個の平均は $\dfrac{ma+nb}{m+n}=\dfrac{m}{m+n}a+\dfrac{n}{m+n}b$ $s=\dfrac{m}{m+n},t=\dfrac{n}{m+n}$とおけば $=sa+tb$ このように考えると $x_1,x_2,\dots ,x_n$に対しての加重平均 すなわち， $k_1+\dots +k_n=1 \ \ (k_i > 0)$のとき $k_1x_1+\dots +k_nx_n$ を考えることも自然である． 下に凸の関数では次の命題が成り立つ． 命題 区間$I$で$f"(x) > 0$なら$I$の$n$個の点$x_1,\dots ,x_n$および$k_1+\dots +k_n=1$である 正の数$k_1,\dots ,k_n$に対して $f(k_1x_1+\dots +k_nx_n)\leqq k_1f(x_1)+\dots +k_nf(x_n)$ が成り立つ．ただし等号が成り立つのは $x_1=\dots =x_n$ のとき． この命題の証明は，次の補助命題を用いるのが一般的． 補助命題 区間$I$で$f"(x) > 0$なら$I$の任意の２点$a,b \ \ (a < b)$に対して $f(b)=f(a)+f'(a)(b-a)+\dfrac{f"(c)}{2!}(b-a)^2, \ \ (a < c < b)$ を満たす$c$が存在する． 証明 $f(b)=f(a)+f'(c)(b-a) \ \ (a < c < b)$ なら平均値の定理であり，示そうとしているのは平均値の定理の２階の導関数への拡張である． $m$を $\dfrac{f(b)-f(a)-f'(a)(b-a)}{(b-a)^2}=\dfrac{m}{2!}$ によって定める． このとき $f(b)-f(a)-f'(a)(b-a)-\dfrac{m}{2!}(b-a)^2=0$ が成り立つ． ここで， $F(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)-\dfrac{m}{2!}(x-a)^2$ とおく($b$を$x$で置き換えた式)． $F'(x)=f'(x)-f'(a)-m(x-a),F"(x)=f"(x)-m$ である． 式からわかることは， $F(a)=0,F'(a)=0$及び$F(b)=0$である． $F(a)=0,F(b)=0$であるから平均値の定理より $F'(c_1)=0 \ \ (a < c_1 < b)$ となる$c_1$が存在する． したがって， $F'(a)=0,F'(c_1)=0$ より $F"(c)=0 \ \ (a < c < c_1)$ となる$c$が存在する． 一方 $F"(x)=f"(x)-m$ であるから $m=F"(c) \ \ (a < c < c_ < b)$ となる$c$が存在する． ここでは，この補助命題だけで十分なのであるが， せっかくであるからもう少し一般の$n+1$階の微分まで拡張した定理を証明しておこう． 補助命題の証明と方針は全く同じである. 定理(Taylorの公式) 区間$I$で$f^{(n+1)}(x)$が存在するとき$I$の任意の２点$a,b \ \ (a < b)$に対して $f(b)=f(a)+f'(a)(b-a)+\dfrac{f"(a)}{2!}(b-a)^2+\dots +\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(b-a)^n+ \dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}, \ \ (a < c < b)$ を満たす$c$が存在する． 証明 $M$を $\dfrac{f(b)-\left(f(a)+f'(a)(b-a)+\dfrac{f"(a)}{2!}(b-a)^2+\dots +\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(b-a)^n\right)}{(b-a)^{n+1}} =\dfrac{M}{(n+1)!}$ によって定める． $F(x)=f(x)-\left(f(a)+f'(a)(x-a)+\dfrac{f"(a)}{2!}(x-a)^2 +\dots +\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+ \dfrac{M}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\right)$ とおく $F(a)=0,F(b)=0$であり，さらに $F'(x),F"(x),\dots ,F^{(n)}(x)$を計算すればわかるように $F'(a)=0,F"(a)=0,\dots ,F^{(n)}(a)=0$ がなりたつ． $F(a)=0,F(b)=0$より$F'(c_1)=0 \ \ (a < c_1 < b)$ $F'(a)=0,F'(c_1)=0$より$F"(c_2)=0 \ \ (a < c_2 < c_1)$ $F"(a)=0,F"(c_2)=0$より$F^{(3)}(c_3)=0 \ \ (a < c_3 < c_2)$ と繰り返すことより $F^{(n+1)}(c_{n+1})=0 \ \ (a < c_{n+1} < c_n)$ を得る．一方 $F^{n+1}(x)=f^{(n+1)}(x)-M$ であるから $f^{(n+1)}(c)=M \ \ (a < c_{n+1} < c_n < b)$ を満たす$c$が存在する． $b$は任意の値で成り立つから，通常は定理の$b$を変数$x$に置き換えて次のように表現される． 定理(Taylorの公式) 区間$I$で$f^{(n+1)}(x)$が存在するとき,$I$における定点$a$と任意の点$x$に対して $f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\dfrac{f"(a)}{2!}(x-a)^2+\dots +\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+ \dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}, \ \ (a < c < x)$ を満たす$c$が存在する． 特に$a=0$のとき $f(x)=f(0)+f'(0)x+\dfrac{f"(0)}{2!}x^2+\dots +\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+ \dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}x^{n+1}, \ \ (0 < c < x)$ が成り立つ． すでに$0 < x$のとき $e^x > 1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dots +\dfrac{x^n}{n!}$ が成り立つことを，数学的帰納法で証明したが，Taylorの公式を用いれば $f(x)=e^x$のとき$f^{(k)}(0)=1$であるから $e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dots +\dfrac{x^n}{n!}+\dfrac{e^c}{(n+1)!}x^{n+1}$ $> 1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dots +\dfrac{x^n}{n!}$ となりわかりやすいのではないかと思う． もう一つ例を挙げよう． $f(x)=\sin x$ のとき， $f'(x)=\cos x,f"(x)=-\sin x ,f^{(3)}=-\cos x,\dots$ より $0 < x <\dfrac{\pi}{2}$ のとき $\sin x=f(x)=f(0)+f'(0)x+\dfrac{f"(0)}{2!}x^2+\dfrac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3+\dfrac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 +\dfrac{f^{(5)}(c)}{5!}x^5$ $=0+x+0-\dfrac{x^3}{3!}+0+\dfrac{\cos c}{5!}x^5$ $\therefore x-\dfrac{x^3}{3!} < \sin x \cdots (\sharp)$ $\sin x=f(x)=f(0)+f'(0)x+\dfrac{f"(0)}{2!}x^2+\dfrac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3+ \dfrac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 +\dfrac{f^{(5)}(0)}{5!}x^5+\dfrac{f^{(6)}(0)}{6!}x^5+\dfrac{f^{(7)}(c)}{7!}x^5$ $=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}+\dfrac{-\cos c}{7!}$ $\therefore \sin x < x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!} \cdots (\flat)$ $(\sharp ),(\flat)$より$0 < x < \dfrac{\pi}{2}$のとき $x-\dfrac{x^3}{3!} < \sin x < x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}$ さらに，辺々$x$を引いて$x^3$で割れば $-\dfrac{1}{3!} < \dfrac{\sin x -x}{x^3} < -\dfrac{1}{3!}+\dfrac{x^2}{5!}$ この式でもよいが，辺々$-1$をかけ $\dfrac{1}{3!} > \dfrac{x-\sin x}{x^3} > \dfrac{1}{3!}-\dfrac{x^2}{5!}$ 挟み撃ちの原理より $\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x}{x^3}=\dfrac{1}{3!}$ この極限値も重要である($\dfrac{x-\sin x}{x^3}$は偶関数より$x\to -0$は必要ない)． さて話を戻そう． 命題 区間$I$で$f"(x) > 0$なら$I$の$n$個の点$x_1,\dots x_n$および$k_1+\dots +k_n=1$である 正の数$k_1,\dots ,k_n$に対して $f(k_1x_1+\dots +k_nx_n)\leqq k_1f(x_1)+\dots +k_nf(x_n)$ が成り立つ．ただし等号が成り立つのは $x_1=\dots =x_n$ のとき． の証明を完成させよう． 命題 $\bar{x}=k_1x_1+\dots +k_nx_n$とおく． $f(x_i)=f(\bar{x})+f'(\bar{x})(x_i-\bar{x})+\dfrac{f"(c)}{2!}(x_i-\bar{x})^2$ $\geqq f(\bar{x})+f'(\bar{x})(x_i-\bar{x}) \cdots (\sharp)$ 両辺$k_i$倍して加えると $k_1f(x_1)+\dots +k_nf(x_n)$ $\geqq (k_1+\dots k_n)f(\bar{x})+f'(\bar{x})(k_1x_1+\dots +k_nx_n-(k_1+\dots k_n)\bar{x})$ この不等式の右辺の第２項は$0$であるから $=f(\bar{x})$ 不等式が成り立つことが証明された． 次に等号が成り立つ場合を調べよう． 上の式$(\sharp)$で等号が成り立つのは $\dfrac{f"(c)}{2!}(x_i-\bar{x})^2=0$ すなわち $x_i-\bar{x}=0$ 任意の$i$で成り立つから 等号が成り立つのは $x_1=\dots =x_n$ のときである． 命題で，上に凸すなわち$f"(x) < 0$のときは不等号が逆になる．その場合を書くと次のようになる． 命題 区間$I$で$f"(x) < 0$なら$I$の$n$個の点$x_1,\dots x_n$および$k_1+\dots +k_n=1$である 正の数$k_1,\dots ,k_n$に対して $f(k_1x_1+\dots +k_nx_n)\geqq k_1f(x_1)+\dots +k_nf(x_n)$ が成り立つ．ただし等号が成り立つのは $x_1=\dots =x_n$ のとき． ここでは特に $k_1=\dots =k_n=\dfrac{1}{n}$ のときに，$f(x)$を与え不等式を作ってみよう． $\bullet f(x)=\log x$のとき， $f"(x)=-\dfrac{1}{x^2} < 0$であるから命題より，正の数$x_1,\dots x_n$に対して $\log(\dfrac{x_1+\dots +x_n}{n})\geqq \dfrac{\log x_1}{n}+\dots +\dfrac{x_n}{n} =\log \sqrt[n]{x_1\cdots x_n}$ $y=\log x$は単調増加であるから $\dfrac{x_1+\dots +x_n}{n}\geqq \sqrt[n]{x_1\cdots x_n}$ 等号は $x_1=\cdots =x_n$ のとき成り立つ． これがｎ変数の算術平均，幾何平均の関係の証明である． $\bullet f(x)=\dfrac{1}{x}, \ \ (0 < x)$のとき， $f(x)$は下に凸で単調減少である． $f(\dfrac{x_1+\dots +x_n}{n})\leqq \dfrac{f(x_1)+\dots +f(x_n)}{n}$ したがって， $\dfrac{n}{x_1+\dots +x_n}\leqq \dfrac{\frac{1}{x_1}+\dots +\frac{n}{x_n}}{n}$ 両辺の逆数をとり $\dfrac{x_1+\dots +x_n}{n}\geqq \dfrac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots +\frac{n}{x_n}}$ 右辺を$x_1,\dots ,x_n$の調和平均とよび，算術平均と調和平均の関係の証明である． $\bullet f(x)=x^2, \ \ (0 < x)$のとき. $f(x)$は単調増加で下に凸である． $\left(\dfrac{x_1+\dots +x_n}{n}\right)^2\leqq \dfrac{x_1^2+\dots x_n^2}{n}$ 両方の平方根をとり $\dfrac{x_1+\dots +x_n}{n}\leqq \sqrt[2]{\dfrac{x_1^2+\dots x_n^2}{n}}$ 右辺を$x_1,\dots ,x_n$の平方平均と呼ぶ． $\bullet f(x)=\sin x, \ \ (0 < x < \pi)$のとき. $f(x)$は上に凸である．したがって， $\sin \left(\dfrac{x_1+\dots +x_n}{n}\right)\geqq \dfrac{\sin x_1+\dots +\sin x_n}{n}$ が成り立つ． $\triangle ABC$で考えれば $\sin \left(\dfrac{A+B+C}{3}\right)\geqq \dfrac{\sin A+\sin B+\sin C}{3}$ さらに，$A+B+C=\pi$より $\sin A+\sin B+\sin C \leqq \dfrac{3\sqrt3}{2}$ が成り立つ． 等号が成り立つのは$A=B=C$すなわち正三角形ときである． 円に内接する三角形で周の長さが最小になるのは 円の半径を$R$とすると $a+b+c=2R\sin A+2R\sin B+2R\sin C=2R(\sin A+\sin B+\sin C)\leqq 2R\cdot 3\sin \dfrac{\pi}{3} =\dfrac{6\sqrt{3}}{2}R$ 等号が成り立つのは正三角形のとき． さて，算術平均以外に幾何平均，調和平均，平方平均を述べたが， これらの定義の共通性が読み取れたであろか． ２変数で説明する． $a,b > 0$とする． $f(x)=\log x$のとき，$c=\sqrt{ab}$とおけば $f(c)=\dfrac{f(a)+f(b)}{2}$ すなわち，$a,b$の幾何平均(相乗平均)$c$は $c=f^{-1}(\dfrac{f(a)+f(b)}{2})$ 調和平均，平方平均はそれぞれ$f(x)=\dfrac{1}{x},f(x)=x^2$であることを確認しよう． 一般に$f(x)$が単調増加または単調減少，すなわち逆関数$f^{-1}(x)$が存在するとき， $f(c)=\dfrac{f(x_1)+\dots +f(x_n)}{n}$ すなわち $c=f^{-1}\left(\dfrac{f(x_1)+\dots +f(x_n)}{n}\right)$ で定まる$c$を$x_1,\dots ,x_n$の$f$-平均いう． 理論を作るとき，実情に応じて平均値を定義するというのが一般的な考え方である． 最後に，幾何平均（相乗平均），調和平均，平方平均の例を挙げよう． 
$\bullet$幾何平均の例直径$AB=a+b$の円の直径上に$AH=a$である点をとり， $H$において$AB$に垂直な線を引き円との交点の片方を$C$とする．このとき $CH=\sqrt{ab}$ である(方べきの定理)． 同じことであるが，$\angle C=90^{\circ}$の直角三角形$CAB$で$C$から対辺に下した垂線を$CH$ とする．このとき$CH$は$AH,HB$の相乗平均． いくつかの比の平均を考えるとき．たとえば， １年目は年利$10$%,2年目は年利$20$%のとき，平均の年利は $\sqrt{1.1\times 1.2}$ １年目は2倍になり，２年目は3倍になるとき平均の増加の割合は $\sqrt{2\times 3}$ $\bullet$調和平均の例 ２地点間を行きは毎時$a\mathrm{km}$帰りは毎時$b\mathrm{km}$のとき 平均の速さは$a,b$の調和平均$\dfrac{2ab}{a+b}$ 実際，２地点間の距離を$l$とすると，平均の速さは $\dfrac{2l}{\dfrac{l}{a}+\dfrac{l}{b}}.$ 分子，分母を$l$で割れば得られる． 
台形$ABCD$で$AD=a,BC=b$のとき，対角線の交点を$P$とし，$P$を通り上底（下底）と平行な直線と$AB,CD$
との交点をそれぞれ$E,F$とする．このとき，$EF$は$AD,BC$の調和平均である．実際 $EP=b\times \dfrac{a}{a+b},PF=a\times \dfrac{b}{a+b}$ $\therefore EF=\dfrac{2ab}{a+b}$ 図からわかるように，$E,F$を $AE:EB=a:b,DF:FC=a:b$ によって定めてもよい． また，この計算より $P$は$EF$の中点であることもわかる． 
円に外接する等脚台形を利用すれば相加平均，相乗平均，調和平均の関係がわかりやすい．
$AD\parallel BC$の等脚台形$ABCD$を考えよう．四角形$ABCD$が円に外接する $\Longleftrightarrow AD+BC=AB+CD$ であるから，$AD=a,BC=b$とすれば $AB=\dfrac{a+b}{2}$ $A$から$BC$に下した垂線の足を$H$とすると $AH=\sqrt{(\dfrac{a+b}{2})^2-(\dfrac{a-b}{2})^2}=\sqrt{ab}$ $AH$がこの台形の内接円の直径． $AD,BC$の中点をそれぞれ$E,F$とするば，$EF$の中点が内接円の中心$O$であり， $O$から辺$AB,CD$に下した垂線の足をそれぞれ$P,Q$とすれば $AP:PB=AE:BF=a:b=DQ:QC$ より，$PQ$の長さが$a,b$の調和平均である． したがって， $AB(=\dfrac{a+b}{2})\geqq EF(=\sqrt{ab})=2OP\geqq PQ(=\dfrac{2ab}{a+b})$ 後半の不等式は直角三角形$OPK$に注目する． 等号が成り立つのは，前半の不等式は$\triangle ABH$で$B$と$H$が一致するときで $\angle ABH=90^{\circ}$ より四角形$ABCD$が長方形．すなわち$a=b$ 後半の不等式は，$PQ$が$EF$の中点$O$を通るとき．したがって$P$が$AB$の中点．すなわち$a=b$. 
線分$OA$を同じ比に内分，外分した点を$P,Q$とすると，$OA$は$OP,OQ$の調和平均である．実際，$OA=a,OP=p,OQ=q$とすれば $p:(a-p)=q:(q-a)$ $2pq=ap+aq$ $\dfrac{2}{a}=\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}$ この理由から，線分$OA$を同じ比に内分，外分した点$P,Q$を 線分$OA$を調和に分ける点といいます． 面白いのは，線分$OA$を調和に分ける点$P,Q$を$OA$の中点$M$に注目し， 
$MA=a,MP=p,MQ=q$とおくと $a+p:a-p=a+q:q-a$ $\therefore a^2=pq$ したがって，$MA$は$MP,MQ$の幾何平均になっています． 図形的な性質から見ると素晴らしい結果のように思うかもしれませんが，代数的に考えると簡単に示せます． ここで述べたことは $2a$が$p,q$の調和平均の時，$a$は$p-a,q-a$の幾何平均である． です．これは $\dfrac{2}{2a}=\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}$ のとき $a^2=(p-a)(q-a)\cdots (\sharp)$ が成り立つことです． それは 仮定の式の分母を払えば $pq=ap+aq$ であるから$(\sharp)$が成り立つことが分かります． 
２次曲線を考えましょう．極座標で考えると，焦点が極，準線が$(a,0)$を通り始線に垂直な直線， 離心率$e$の２次曲線の極方程式は $r=\dfrac{ae}{1+e\cos \theta}$ です． 実際右図で 離心率$e$より $AF=eAH$. したがって $r\cos \theta +\dfrac{r}{e}=a$ が成り立ち，この式を$r$について解けばよい． したがって， $\dfrac{1}{r}=\dfrac{1+e\cos \theta}{ae}$ この式より，２次曲線$C$とその焦点$F$を通る直線の交点を$A,B$とすると $\dfrac{1}{FA}+\dfrac{1}{FB} =\dfrac{1+e\cos \theta +1+e\cos (\pi+\theta)}{ae}=\dfrac{2}{ae}=$(一定) したがって，極を通り，始線に垂直な直線と２次曲線との交点の片方を$C$とすると $\dfrac{1}{FA}+\dfrac{1}{FB}=\dfrac{2}{FC}$ すなわち$FC$は$FA,FB$の調和平均である． 特に，右図で$FC$は$FD,FE$の調和平均である． $\bullet$平方平均の例 標準偏差は偏差の平方平均である． (関数$f(x)=\dfrac{\log x}{x}$についての項目終わり)
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