解答 問題 円\(x^2+y^2=1\)を\(C_0\),楕円\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 (a > 0,b > 0)\)を\(C_1\) とする． \(C_1\)上のどんな点\(P\)に対しても，\(P\)を頂点にもち\(C_0\) に外接して\(C_1\)に内接する平行四辺形が存在するための必要十分条件を\(a,b\)で表せ． 解答 条件を満たす平行四辺形が存在するとき，点\(P\)を頂点\(A\)に取れば平行四辺形\(PQRS\)は ひし形\(ABCD\)である．ひし形\(ABCD\)の内接円の半径が\(1\)より \(ab=\sqrt{a^2+b^2}\) \(\therefore a^2b^2=a^2+b^2\) 逆に， \(a^2+b^2=a^2b^2\) を満たすとき， 楕円\(C_1\)上の任意の点\(P\)の対して\(PO\)の延長と\(C_1\)との交点を\(R\),\(O\)を通り \(PR\)に垂直な直線と\(C_1\)との交点を\(Q,R\)とする．このとき四角形\(PQRS\)はひし形 (対角線が互いに他を２等分し，対角線は直交する)． ひし形\(PQRS\)の内接円の半径が\(1\)を示せばよい． \(OP=r,OQ=s,\angle POA=\theta\)とおく． このとき\(P(r\cos \theta,r\sin \theta ), Q(s\cos (\theta +\dfrac{\pi}{2}),s\sin (\theta +\dfrac{\pi}{2}))\) すなわち \(Q(-s\sin \theta ,s\cos \theta )\) \(P,Q\)は楕円が\(C_1\)上より \(\dfrac{r^2\cos ^2\theta}{a^2}+\dfrac{r^2\sin ^2\theta}{a^2}=1\cdots (\sharp)\) \(\dfrac{s^2\sin ^2\theta}{a^2}+\dfrac{s^2\cos ^2\theta}{a^2}=1\cdots (\flat)\) \((\sharp)\times s^2+(\flat )\times r^2\)より \(\dfrac{r^2s^2}{a^2}+\dfrac{r^2s^2}{b^2}=r^2+s^2\) 両辺を\(r^2s^2\)で割ると \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{1}{r^2}+\dfrac{1}{s^2}\) \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}=1\) であるから \(\dfrac{1}{r^2}+\dfrac{1}{s^2}=1\) これはひし形\(PQRS\)の内接円の半径が\(1\)を意味している． したがって求める条件は \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}=1 \ \ (a^2+b^2=a^2b^2)\) 目次