回転相似変換の合成

同じ点を中心とする,回転変換と相似変換の合成をここでは回転相似変換といいます.
同じ点を中心とする相似変換と回転変換の合成は,変換の順番によらないことに注意しましょう.

点Oの周りにα回転し,m倍した変換を
U(O,α,m)
と表します.
以後
U’=U(O’,α,m),
U”=S(O”,β,n)
と表します.



図は,回転相似変換U’により線分ABがA’B’にうつり,
回転相似変換U”によりA’B’が線分A”B”にうつったことを 表しています.
ここで,U’とU”の合成変換U”○U’が回転相似変換
U(O,α+β,mn)
と仮定して,
Oがどこになるかをしらべます.
さらに,そのOが見つかったら,実際に合成変換が
U(O,α+β,mn)
と一致するという流れで証明します.


直線ABと直線A”B”の交点をCとします.
線分ABを点Oの周りにα+β回転しmn倍したのが 線分A”B”と仮定しているので,
2直線AB,A”B”のなす角はα+βであり,
さらに,
∠AOA”=α+β,
∠BOB”=α+β,
したがって,四角形OACA”,OBCB”は ともに円に内接します.
ここで,△ACA”の外接円と△BCB”の外接円の交点のうち CでないほうをOとします.
この点Oが合成回転相似変換U”○U’の変換の中心になることを示しましょう.
∠AOA”
=180°−∠BCB”
=α+β
∠BOB”
=180°−∠BCB”
=α+β
さらに,四角形OACA”,OBCB”が円に内接するから
∠A=∠A”,
∠B=∠B”
∴ △OAB∽△OA”B”
∴ OA”/OA
=OB”/OB
=A”B”/AB
=mn
したがって,合成回転相似変換U”○U’は,Oがの変換の中心である 回転角がα+β,相似比がmnであることが分かりました.

以上で,異なる2点の周りの変換の合成がやはり同じ種類の変換になるということの 証明が終了いたしました.
次からは,ここで学んだ変換を利用して,問題を解いていきます.
解答はどれも美しく,読んでいても楽しくなるのではないかと思います.

なお,ここでの内容は次の本を参考にしました.
Geometric Transformations T,U,V New Mathematicsl Library,Random House,
New York and the L.W.Singer Co,Syracuse.
英語に対するアレルギーさえなければ高校生でも十分読みこなせます.
この本は問題を解きながら,その周辺を話題を分かりやすく解説しています.
一度眺めてみることをお勧めします.

さて,以上の内容は,とても重要ですが,日本ではここで扱ったようには 扱いません.
行列を勉強すると簡単に証明できてしまうからです.
簡単にそのことを触れてこの段落を終わりにします.

A,Bを行列,a.b,c,xをベクトルとします.回転を例に説明すると, の周りの回転は
→A()+
となり,の周りの回転との周りの回転の合成は 座標軸と取り替えて,原点の周りの変換との周りの変換の合成と考え,
→A
→B(A)+
=BA−B
したがって
BA−B
=BA()+
(E−B)=(E−BA)  ・・・@
任意のに対してが存在するかという問題に帰着されるので, 一般論で簡単に解決します.ただ,存在がいえるだけでは, 具体的な問題は解けず,一般論では限界があります.

今まで述べた面倒な議論が,これから問題を 解くのに役に立つことを感じ取ってもらえると思います.

  回転変換の応用

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