回転相似変換の合成ここでは，２つの回転相似変換の合成を考えます．
$U_1=U(O_1,a,k_1),$$U_2=U(O_1,b,k_2)$ とおく．ここで $U_2\circ U_1$ を考える． 相似変換は，２点の像で定まる． $AB\stackrel{U_1}{\longmapsto}A'B'\stackrel{U_1}{\longmapsto}A''B''$ とすると $A''B''=k_2A'B'=k_1k_2AB$ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'B'}$のなす角を$a$, $\overrightarrow{A'B'},\overrightarrow{A''B''}$のなす角を$b$とすると $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A''B''}$のなす角は$a+b$である．(右図参照) ２直線$AB,A''B''$の交点を$C$とし，３点$C,A,A''$を通る円と３点$C,B,B''$を 通る円の交点のうち， $C$でない方を$O$とすると $U_2\circ U_1=U(O,a+b,k_1k_2)$ となることはすでに示してある． ここで，回転相似変換$U(O,\theta,k)$は$a+b =360^{\circ}\times n \ (n$は整数$)$ のときは中心相似変換で，$k=1$のとき回転変換である． したがって，特別な場合を調べる必要がある． $\bullet \ \ a+b=360^{\circ}\times n$かつ$k_1k_2=1$のとき $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A''B''}$である． $A=A''$のとき，当然$B=B''$が成り立つがこのとき合成変換は恒等変換である． $A\neq A''$のとき，合成変換は$\overrightarrow{AA''}$で決まる平行変換である． $\bullet \ \ a+b=360^{\circ}\times n$かつ$k_1k_2\neq 1$のとき $\overrightarrow{A''B''}=k_1k_2\overrightarrow{AB}$であるから 合成変換は中心相似変換である． $\bullet \ \ a+b=180^{\circ}+360^{\circ}\times n$ この時は$\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{A''B''}$は向きが反対である． $AA'',BB''$の交点を$O$とすれば $U_2\circ U_!=U(O,180^{\circ},\dfrac{OA''}{OA})$ となる．これも中心相似変換である． 以上をまとめると次のようになる． 命題 ２つの回転相似変換の合成変換$U(O_2,b,k_2)\circ U(O_1,a,k_1)$は $\bullet \ a+b\neq 360^{\circ}\times n$のとき，回転角$a+b$,相似比$k_1k_2$の回転相似変換である． $\bullet \ a+b= 360^{\circ}\times n$かつ$k_1k_2=1$のとき 恒等変換か平行変換である． $\bullet \ a+b= 360^{\circ}\times n$かつ$k_1k_2\neq 1$のとき 中心相似変換である． |