１２．極小曲面(3)

回転曲面の中で極小曲面は懸垂曲面(カテノイド)だけであることがわかり，線織面のなかで 極小曲面は常らせん面(ヘリコイド)だけであることがわかりました．
一方，懸垂曲面と常らせん面は等長変換が存在し，連続的に変換する様子が，ネットや専門書で 見ることができます．私はこの画像をみたとき，すごいなーと感心したものです．
さらに，2つの極小曲面が連続的に一方から他方に変形できるとき，石鹸膜で曲面を作ってみれば わかるように，変形の途中も極小曲面のものが存在するはずです．
この連続に変形する曲面が簡単に作れます．
mathematicaで作ったのが次の図です．

(スライダーをドラッグすると曲面が変わり，スライダーの右の+をクリックすると小さなコントロールパネルが開き，連続的に変化させることができます．
もし，画面にGet the Wolfram CDF Player とあらわれたら，画面をクリックしCDF Playerをインストールしてください．なお，現時点ではInternet Explor ではうまくインストールできません（2014年5月）．ほかのブラウザを使ってください．それでも動かないときはjavaのセキュリティを一番下にしてください）



常らせん面は
hericoid=$(\sinh u\cos v,\sinh u\sin v,v)$
です．通常の$u$を$\sinh u$で置き換えたものです．
懸垂面は
catenoid=
$(\cosh u\sin (-v),\cosh u\cos (-v),u)$
です．これは,
$(\sin(-v),\cos(-v))$
$=(\cos(\frac{\pi}{2}+v),\sin(\frac{\pi}{2}+v))$
であるから，懸垂面であることがわかります．
2つの曲面とも，第1基本形式は
$I=\cosh ^2(u)du^2+\cosh ^2(u)dv^2$
であり，2つの曲面が等長同型です．ここでは，連続に変化するときの途中の曲面(随伴極小曲面という) $\cos t(\cosh u\sin (-v),\cosh u\cos (-v),u)$
$+\sin t(\cosh u\sin (-v),\cosh u\cos (-v),u)$
が任意の$t$で第１基本形式が同じで，極小曲面であるあることを確認します．
それが右図です．
第１基本形式の計算は筆算でもすぐできます．
平均曲率$H$は
$H=\dfrac{EN-2FM+GL}{2(EG-F^2)}$
であり，第１基本形式の結果より$F=0,E=G$(等温座標)がわかっていますから$L+N=0$をしらべればよい． なおここでは，法線ベクトルは正規化していません．
ところで，石鹸幕の実験でこの現象を確認できるのでしょうか．洗剤にグリセリンを入れて粘性を 持たせて，何度か試しましたがうまくいきません．何かコツがあれな教えてください.
(Eメール連絡先:komuro@seishingakuen.ed.jp )


つぎの例は，エンネパー(Enneper)曲面の随伴極小曲面です．




繰り返しになりますが，上の計算式を見てください．第1基本形式$\{e,f,g\}$に$t$が入らないので， 第１基本形式が 同じであることがわかり， $t$によらず平均曲率が$0$すなわち極小曲面であることがわかります．

この節で述べた内容は
小林昭七著　曲線と曲面の微分幾何　裳華房
大槻富之助著　微分幾何学　朝倉書店
に基づいており，どちらの本も内容の背景を含めきちんと説明してあります．
ここで挙げた例を理解したうえで読めば理解が深まると思います． あわせて参考にしてください．
(極小曲面の項目終わり)



微分幾何