曲面の曲率はなかなか理解しづらいものです．私も結構苦労しました．ここでは，計算を抜きにして，図を用いて 説明します． まず，曲線の曲率は大丈夫かな．曲がり方を円で測る計り方です．  すなわち，与えられた曲線の，点Ｐにおける曲率は次のように定義します． 点Ｐで与えられた曲線に接する円を考え，その円と与えられた曲線をそれぞれ点Ｐ でテーラー展開したとき，２次の微分係数まで一致する円の半径が，その点の曲率半径で，その逆数が曲率です． テーラー展開なんていうとびっくりするでしょうが，要するに，その点の１次導関数が一致するとは，接することで，さらに ２次導関数まで一致するということです．ちなみにこの接し方を２次の接触といいます． 空間で曲線の曲率を考えるとき，曲率の向きも考えます．その向きは，曲線の接触平面に含まれ，接線と垂直な向きです． 大きさが曲率，向きが接触平面に含まれ接線と垂直な方向で，さらにその点で考えた円の中心を向く ベクトルを曲率ベクトルといいます． これらのことをおさえておけば十分です．  双曲放物面 ｆ＝（ｕ，ｖ，ｕ＾２−ｖ＾２） で曲面の曲率を調べます．ここで，曲面の場合，曲率といっても沢山あり，それが混乱の元になります． 頻繁に出てくる言葉は次の４つです． 法曲率，主曲率，平均曲率，全曲率（ガウス曲率）． 右の双曲放物面の原点Ｏ（０，０，０）における４つの曲率を説明します． この曲面の原点における接平面はｘｙ平面（ｚ＝０）です．接平面の法線ベクトルはｚ軸と同じ向きです． 点Ｏにおける接平面の法線ベクトルを含む平面で，この曲面を切った切り口の曲線を点Ｏにおける直截曲線といいます． 点Ｏにおける接線の法線ベクトルを含む平面をｚ軸の周りに一周させるといろいろな直截曲線ができます． 当然，直截曲線の接触平面は直截曲線を含む平面になります．  右の図はｚ軸とｘｙ平面上のｘ軸， ｙ軸， ｘ＝ｙ， ｘ＝−ｙ， １０ｘ＝９ｙ を含む平面で切った直截曲線です． 特に，ｚ軸と直線 １０ｘ＝９ｙ，ｚ＝０ の定める平面で切った状態を下の図で示しました．  ｚ軸を含む平面で切った曲線（直截曲線）をＣ，Ｃの原点における接線ベクトルをａとします． このとき，曲線Ｃの原点における曲率ベクトルはｚ軸と同じ向きです． この曲率を曲面の点Ｏにおける方向ａの法曲率といいます． 法曲率は符号も考えます．法曲率の符号は，接平面の法線ベクトルの向きに依存します． 法曲率が接平面の法線ベクトルと同じ向きなら正，反対向きなら負とします． 当然，法線ベクトルの向きを反対にすると，法曲率の符号も反対になります． すなわち，法曲率は，各点で，方向を与えれば決まる値です． 次に主曲率について説明します． 法曲率の最大値，最小値が重要な役割を演じます． 曲面上の点を与えれば，その点における法曲率の最大値，最小値を与える方向を ａ１，ａ２とすると， それらのベクトルを主方向ベクトルといい， その方向に対応する法曲率，すなわち法曲率の 最大値,最小値を主曲率といいます． ここでは主曲率をｋ１，ｋ２とおきます． ここで，その平均 Ｈ＝（ｋ１＋ｋ２）／２ を点Ｏにおける平均曲率といい， ｋ１とｋ２の積 Ｋ＝ｋ１・ｋ２ を点Ｏにおける全曲率またはガウス曲率といいます． 双曲放物面 ｆ＝（ｕ，ｖ，ｕ＾２−ｖ＾２） で曲面の曲率を調べます．主方向はｘ軸，ｙ軸の方向で，主曲率はそれぞれ２，−２です． したがって，原点（ｕ＝０，ｖ＝０）における全曲率Ｋ，平均曲率Ｈは Ｋ＝−４，Ｈ＝０ となります． なお，全曲率Ｋ，平均曲率Ｈは第１基本形式，第２基本形式が T＝Ｅ（ｄｕ）＾２＋２Ｆｄｕｄｖ＋Ｇ（ｄｖ）＾２ U＝Ｌ（ｄｕ）＾２＋２Ｍｄｕｄｖ＋Ｎ（ｄｖ）＾２ であれば， Ｈ＝（ＬＧ＋ＥＮー２ＭＦ）／2（ＥＦ−Ｇ２） Ｋ＝（ＬＮ−Ｍ２）／（ＥＦ−Ｇ２） が成り立ちます．このように，曲面の第１基本形式，第２基本形式が分かればたいていのことは分かります． 以上で，曲面の曲率の説明の概略は終わりです． これで，納得してくれれば問題ありませんが，１つ説明が不十分のところがあります． それは曲面上の点における法曲率の定義です． 点Ｐにおける，曲面上の１つのベクトルを与えれば，そのベクトルを接線ベクトルとする曲線はいくらでもあります，  右の図で，どの円も点Ｐにおける接線の向きは同じです． しかし，曲率すなわち円の半径の逆数は異なります． すわわち，曲面上の点Ｐを通る曲線の点Ｐにおける曲率は一般に異なります． しかし，それらの曲率ベクトルの，曲面の法線ベクトル への正射影は一定であることが成り立ちます．曲面の法線ベクトルへ正射影したベクトルの向きまで考えた大きさを 法曲率といいます． 命題 曲面上の点Ｐを通る曲線について，点Ｐにおける接線ベクトルの向きが同じなら，そのらの曲線の点Ｐにおける 曲率ベクトルの曲面の点Ｐのおける法線ベクトルへの 正射影は一致する． 証明は本文を読んでもらうとして，ここでは球面を用いて命題を解説します． 下の枠線の下に図があるでしょうか．もしなければ，ソフトが入っていませんので www.cabri.comよりcabri 3D 評価版 または cabri 3D plug-in （ともに無料） をインストールすることをお勧めします．インストールされていなければ右下の図を利用してください． 下の図は動かすことができます． 動かし方のルールは次の通りです． １．マウスの左ボタンをドラッグし，矢印を点に近づけたとき，矢印が指の形に変わるとき， その点はドラッグしたまま動かすと動かすことができる．動かせる点を見つけたいときは，何もないところで， マウスの左ボタンを押さえ続けると動かせる点は大きく なったり小さくなったりするが動かせない点は変化しない． 変化させるとそれに伴い，計測された長さ，角の大きさ， 面積，体積等も変化する． ２．図形のないところで，マウスの右ボタンをドラッグし，少したつと，矢印の十字形が現れる．その後，上下，左右に動かすと 視点を変えることができる．全体の図形を見やすくするときや，隠れたところ確認するときに便利です． さて，上の画像は動いたでしょうか．動いたとして，下の文にしたがって，図を動かし確かめてください． ただ，いろいろなパソコンで確かめましたが，上記のソフトダウンロードして図を動かそうとすると， ページ全体の動きがとても悪くなり，ほかの部分まで悪影響を与えるときがありますのでご注意ください．  上（上に図がなければ右）の球面上の２つの円Ｃ，Ｃ’は共に点Ｐを通り，円Ｃは大円(直截曲線)で， Ｏ，Ｏ’はそれぞれ円Ｃ，Ｃ’の中心です． さらに，２つの円の点Ｐにおける接線ベクトルの向きは一致しています． またベクトルＰＯはこの球面の法線ベクトルです． 円Ｃ，Ｃ’の半径をＲ，ｒとすると 円Ｃ，Ｃ’の点Ｐにおける曲率は１／Ｒ，１／ｒであり，さらに∠ＯＰＯ’＝θとすると Ｒcosθ＝ｒ したがって， １／ｒcosθ＝１／Ｒ・・・@ @は任意のＣ’で成り立ちます． 上の図で円Ｃ’はＰにおけるベクトルと点Ｑを含む平面で球を切った切り口です．点Ｑをドラッグすると円Ｃ’が変り @の意味が分かるようになっています． 例３ 円柱について説明します． 上に大きな図があればそれを利用します． 穴の開いた平面は，円柱の接平面の法線ベクトルと円柱上の点Ｐを通るものです．  この平面と円柱の交線が直截曲線です．Ｐを左ドラッグして動かせば，いろいろな直截曲線が現れ， その曲率の最大値と最小値が求めるものです． 最大値は，底面と平行で，切り口が円になり，最小値は直線になり 曲率０となります． |