Schwarzの証明 ここでは，垂足三角形の性質のシュワルツによる証明を紹介します．まず定理を述べましょう． 定理 鋭角三角形ＡＢＣの各辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ上にそれぞれＤ，Ｅ，Ｆをとる．このとき， ＤＥ＋ＥＦ＋ＦＤを最小にするＤ，Ｅ．Ｆは各頂点から対辺に下ろした足である． 分かりやすくするため，３つの条件を考えます． T：点Ｄ，Ｅ，ＦはＤＥ＋ＥＦ＋ＦＤを最小にする． U：ＤＥ，ＥＦ，ＦＤは各辺と等角に交わる．すなわち ∠ＦＤＢ＝∠ＥＤＣ，∠ＤＥＣ＝∠ＦＥＡ，∠ＥＦＡ＝∠ＤＦＢ を満たす． V：Ｄ，Ｅ．Ｆは各頂点から対辺に下ろした垂線の足である． |
３条件が同値であることを証明することが目標です． まず，T→Uを示しましょう．すなわち， ＤＥ＋ＥＦ＋ＦＤが最小であるならはＤＥ，ＥＦ，ＦＤ各辺と等角に交わる．すなわち ∠ＦＤＢ＝∠ＥＤＣ，∠ＤＥＣ＝∠ＦＥＡ，∠ＥＦＡ＝∠ＤＦＢ ・・・@ を満たす． です． もし，３条件のいずれかが成り立たなければ， たとえば，∠ＦＤＢ≠∠ＥＤＣとすると，２点Ｅ，Ｆを固定した上で， ∠ＦＤ’Ｂ＝∠ＥＤ’Ｃを満たすように辺ＢＣ上にＤ’を定めれば，より短くなり ＤＥ＋ＥＦ＋ＦＤが最小でないことが分かります． |
次にV→Uすなわち， △ＡＢＣの各頂点から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれＤ，Ｅ，Ｆとすると @を満たすことも分かります． これは下図で４点（Ａ，Ｆ，Ｈ，Ｅ），（Ｂ，Ｄ，Ｈ，Ｆ），（Ｃ，Ｅ，Ｈ，Ｄ）がそれぞれ同一円 周上にあり， ａ＝ｂ（∵円ＢＤＨＥ） ＝ｃ （∵対頂角） ＝ｄ （∵円ＨＤＣＥ） より∠ＦＤＥ＝∠ＥＤＣが成り立ちます．他も同様に成り立ちます． |
次にU→Vを示しましょう． ＡＢ，ＡＣに関してＤと対称な点をそれぞれＤ’，Ｄ”とします． まず，∠ＤＥＣ＝∠ＦＥＡ，∠ＤＦＢ＝∠ＥＦＡより, Ｄ”，Ｅ，Ｆ，Ｄ’に一直線上にあります． 仮定より，∠ＦＤＢ＝∠ＥＤＣ ・・・@ また△ＡＤＦ≡△ＡＤ’Ｆ，△ＡＤＥ≡△ＡＤ”Ｅより ∠ＡＤＦ＝∠ＡＤ’Ｆ，∠ＡＤ”Ｅ＝∠ＡＤＥ さらにＡＤ＝ＡＤ’＝ＡＤ”より∠ＡＤ’Ｆ＝∠ＡＤ”Ｅ ∴ ∠ＡＤＦ＝∠ＡＤＥ ・・・A @，AよりＡＤ⊥ＢＣが示せました． Ｅ，Ｆも同様ですので，Ｄ，Ｅ，Ｆはそれぞれ垂線の足になります． |
以上よりU⇔Vですから，残された問題はU→TまたはV→Tの証明です．U→Tの証明の１つが シュワルツによってなされています． ちなみに，このような証明が数学の大家によってなされるということはとても珍しいことです． その証明を紹介します． 次の図を見てください．△ＡＢＣを辺ＣＡ，ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ と順に対称移動したものです |
６個の三角形は上から順に１から６まで番号を付けました． 三角形１を辺ＡＣに関して対称移動し，さらに辺ＡＢに関して対称移動したものが三角形３ ですから三角形１から三角形３へはＡの周りに２∠Ａだけ回転したものです． 同様に三角形４から三角形６へはＡの周りに−２∠Ａだけ回転したものです． すなわち辺ＢＣに注目するとＡの周りに２∠Ａだけ回転しＡ’の周りに−２∠Ａだけ回転したのが 辺Ｂ”Ｃ”です． この２つの回転移動の合成がどうなるかも調べましょう． すなわち点Ｏの周りに２αだけ回転した回転変換とＯ’の周りに−２αだけ回転した 回転変換の合成変換です． 相似移動，回転移動の合成変換を勉強していれば難しくありません． 次の図で，直線ＯＯ’をｌとし，２直線ｌ，ｍのなす角がα，ｌとｎのなす角がαでｍ，ｎ は平行です． ２つの回転変換の合成は，ｍに関する対称変換とｎに関する対称変換の 合成すなわち平行２直線ｍ，ｎ間の距離の２倍だけの平行移動となります． なお，２直線ｍ，ｎ間の距離はＯＯ’sinαです． |
シュワルツの証明に戻りましょう． 辺ＢＣと辺Ｂ”Ｃ”は平行で，２辺間の距離は２ＡＡ’sinＡとなります． さらに，ＡからＢＣに下ろした垂線の足をＨとすると ＡＡ’＝２ＡＨ したがって，辺ＢＣと辺Ｂ”Ｃ”間の距離は ２ＡＡ’sinＡ＝４ＡＨsinＡ となります．一方，垂足三角形ＤＥＦは ∠ＦＤＢ＝∠ＥＤＣ，∠ＤＥＣ＝∠ＦＥＡ，∠ＥＦＡ＝∠ＤＦＢ を満たすので，上で作った対称移動より，直線になります．さらに，２まわりしているので 垂足三角形ＤＥＦの周の長さは２ＡＢＨsinＡとなります． また，辺ＢＣ上の他の点Ｑをとると 四角形ＰＱＱ’Ｐ’は平行四辺形ですからＰＰ’＝ＱＱ’． したがって，ＰbrＰ’より短くならないということが証明されました． さらに，点Ｑを辺ＢＣ上のＰとは異なる点とします． |