Schwarzの証明

ここでは,垂足三角形の性質のシュワルツによる証明を紹介します.まず定理を述べましょう.

定理 
鋭角三角形ABCの各辺BC,CA,AB上にそれぞれD,E,Fをとる.このとき, DE+EF+FDを最小にするD,E.Fは各頂点から対辺に下ろした足である.


分かりやすくするため,3つの条件を考えます.
T:点D,E,FはDE+EF+FDを最小にする.
U:DE,EF,FDは各辺と等角に交わる.すなわち
∠FDB=∠EDC,∠DEC=∠FEA,∠EFA=∠DFB
を満たす.
V:D,E.Fは各頂点から対辺に下ろした垂線の足である.




3条件が同値であることを証明することが目標です.

まず,T→Uを示しましょう.すなわち, DE+EF+FDが最小であるならはDE,EF,FD各辺と等角に交わる.すなわち ∠FDB=∠EDC,∠DEC=∠FEA,∠EFA=∠DFB ・・・@ 
を満たす.
です. もし,3条件のいずれかが成り立たなければ, たとえば,∠FDB≠∠EDCとすると,2点E,Fを固定した上で, ∠FD’B=∠ED’Cを満たすように辺BC上にD’を定めれば,より短くなり DE+EF+FDが最小でないことが分かります.



次にV→Uすなわち,
△ABCの各頂点から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれD,E,Fとすると @を満たすことも分かります.
これは下図で4点(A,F,H,E),(B,D,H,F),(C,E,H,D)がそれぞれ同一円 周上にあり,
a=b(∵円BDHE)
=c (∵対頂角)
=d (∵円HDCE)
より∠FDE=∠EDCが成り立ちます.他も同様に成り立ちます.






次にU→Vを示しましょう.
AB,ACに関してDと対称な点をそれぞれD’,D”とします.
まず,∠DEC=∠FEA,∠DFB=∠EFAより, D”,E,F,D’に一直線上にあります.
仮定より,∠FDB=∠EDC ・・・@
また△ADF≡△AD’F,△ADE≡△AD”Eより
∠ADF=∠AD’F,∠AD”E=∠ADE
さらにAD=AD’=AD”より∠AD’F=∠AD”E
∴ ∠ADF=∠ADE  ・・・A
@,AよりAD⊥BCが示せました.
E,Fも同様ですので,D,E,Fはそれぞれ垂線の足になります.


D,E,Fが等角に各辺と交わるときAD⊥BCを満たすことを示しています


以上よりU⇔Vですから,残された問題はU→TまたはV→Tの証明です.U→Tの証明の1つが シュワルツによってなされています.
ちなみに,このような証明が数学の大家によってなされるということはとても珍しいことです.
その証明を紹介します.

次の図を見てください.△ABCを辺CA,AB,BC,CA,AB と順に対称移動したものです

 



6個の三角形は上から順に1から6まで番号を付けました.
三角形1を辺ACに関して対称移動し,さらに辺ABに関して対称移動したものが三角形3 ですから三角形1から三角形3へはAの周りに2∠Aだけ回転したものです.
同様に三角形4から三角形6へはAの周りに−2∠Aだけ回転したものです.
すなわち辺BCに注目するとAの周りに2∠Aだけ回転しA’の周りに−2∠Aだけ回転したのが 辺B”C”です.
この2つの回転移動の合成がどうなるかも調べましょう.
すなわち点Oの周りに2αだけ回転した回転変換とO’の周りに−2αだけ回転した 回転変換の合成変換です.
相似移動,回転移動の合成変換を勉強していれば難しくありません.
次の図で,直線OO’をlとし,2直線l,mのなす角がα,lとnのなす角がαでm,n は平行です.
2つの回転変換の合成は,mに関する対称変換とnに関する対称変換の 合成すなわち平行2直線m,n間の距離の2倍だけの平行移動となります.
なお,2直線m,n間の距離はOO’sinαです.





シュワルツの証明に戻りましょう.
辺BCと辺B”C”は平行で,2辺間の距離は2AA’sinAとなります.
さらに,AからBCに下ろした垂線の足をHとすると
AA’=2AH
したがって,辺BCと辺B”C”間の距離は
2AA’sinA=4AHsinA
となります.一方,垂足三角形DEFは
∠FDB=∠EDC,∠DEC=∠FEA,∠EFA=∠DFB
を満たすので,上で作った対称移動より,直線になります.さらに,2まわりしているので 垂足三角形DEFの周の長さは2ABHsinAとなります.
また,辺BC上の他の点Qをとると 四角形PQQ’P’は平行四辺形ですからPP’=QQ’.
したがって,PbrP’より短くならないということが証明されました.
さらに,点Qを辺BC上のPとは異なる点とします.


線分B’C’とPP’との交点をP”, 線分B’C’,B”C”上の点Qの対応点をそれぞれQ”,Q’とすると, Qが点Pの右側にあれば点Q”は点P”の左側.したがって,QQ”とPP”が平行になることは ない.
ゆえに,点Qが点Pと異なるときは,折れ線QQ”Q’は線分PP’より長い. Qを定めたとき,折れ線QQ”Q’は最短の長さであるから,PP’が最短であることが 証明された.

以上で,T,U,Vが同値であることが証明された.

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