相似変換の合成次に，異なる2点を中心とする相似変換の合成を考えます．以後，点Ｏを中心とする，相似比がｒの相似変換をＴ（Ｏ，ｒ）と表します． まず，具体例で調べましょう．  図は，点Ｏ’を中心とする相似比１．５の相似変換Ｔ（Ｏ’，1.5）で線分ＡＢが線分Ａ’Ｂ’ にうつり， さらに点Ｏ”を中心とする相似比２の相似変換Ｔ（Ｏ”，2）で線分Ａ’Ｂ’ が線分にＡ”Ｂ”うつった図です． 線分ＡＢと線分Ａ”Ｂ”が相似の位置にあるとすると， 相似の中心は直線ＡＡ”と直線ＢＢ”上にあります． 図より，２直線ＡＡ”，ＢＢ”の交点は直線Ｏ’Ｏ”上にあるので， 合成変換の相似の中心は直線Ｏ’Ｏ”上にありそうです．  図で， Ｏ’Ｑ／Ｏ’Ｐ＝ｍ， Ｏ”Ｒ／Ｏ”Ｑ＝ｎ とします． Ｔ’＝Ｔ（Ｏ’，ｍ）， Ｔ”＝Ｔ（Ｏ”，ｎ） とおくと Ｔ’：Ｐ→Ｑ Ｔ”：Ｑ→Ｒ ここで△ＱＯ’Ｏ”において メネラウスの定理より Ｏ”Ｏ：ＯＯ’ ＝ｎ（ｍ−１）：ｎ−１ ・・・@ を得ます． さらに，点Ｏを@によって定めれば，ＯはＯ’，Ｏ”，ｍ．ｎで定める点であり， △ＲＯ”Ｏにおいてメネラウスの定理より ＯＲ／ＯＰ＝ｍｎ を得ます． したがって，Ｏ”Ｏ’を@で定まる比に内分した点が，合成変換の相似の中心となります． 定理 ２つの相似変換 Ｔ（Ｏ’，ｍ）， Ｔ（Ｏ”，ｎ） の合成は，Ｏを Ｏ”Ｏ：ＯＯ’ ＝ｎ（ｍ−１）：ｎ−１ によって定めれば Ｔ（Ｏ，ｍｎ） である． 回転相似変換の合成 目次 |