相似変換の合成

次に,異なる2点を中心とする相似変換の合成を考えます.
以後,点Oを中心とする,相似比がrの相似変換をT(O,r)と表します.
まず,具体例で調べましょう.



図は,点O’を中心とする相似比1.5の相似変換T(O’,1.5)で線分ABが線分A’B’ にうつり,
さらに点O”を中心とする相似比2の相似変換T(O”,2)で線分A’B’ が線分にA”B”うつった図です.
線分ABと線分A”B”が相似の位置にあるとすると,
相似の中心は直線AA”と直線BB”上にあります.
図より,2直線AA”,BB”の交点は直線O’O”上にあるので,
合成変換の相似の中心は直線O’O”上にありそうです.





図で,
O’Q/O’P=m,
O”R/O”Q=n
とします.
T’=T(O’,m),
T”=T(O”,n)
とおくと
T’:P→Q
T”:Q→R
ここで△QO’O”において メネラウスの定理より
O”O:OO’
=n(m−1):n−1
   ・・・@
を得ます.
さらに,点Oを@によって定めれば,OはO’,O”,m.nで定める点であり, △RO”Oにおいてメネラウスの定理より
OR/OP=mn
を得ます.
したがって,O”O’を@で定まる比に内分した点が,合成変換の相似の中心となります.

定理
2つの相似変換
T(O’,m),
T(O”,n) の合成は,Oを
O”O:OO’
=n(m−1):n−1
によって定めれば
T(O,mn)
である.



  回転相似変換の合成

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