双曲線の接線の性質 ここでは，双曲線の接線の性質を楕円の場合と同様に対称性を利用して証明します． まず，証明する定理を述べます． 定理 Ｆ，Ｆ’は定点．ＰＦ’−ＰＦ＝（一定）を満たす双曲線上（一定の数が正の定数のとき図の双曲線の右側） の点Ｐにおける接線は∠ＦＰＦ’の二等分線である． 言い方を換えれば，Ｆから出た光は双曲線でＦ’から出たように反射する．となります．

証明の基本になるのは次の問題です． 問題 直線ｍとｍに関して反対側に２点Ａ，Ｂがあり．Ａ，Ｂの直線ｍまでの距離は Ａの方が遠いとする．このとき直線ｍ上の点ＰをどこにとればＡＰ−ＢＰが最大 になるか．

Ｐをドラッグすると動きます．Ｐを動かして，条件を満たす点を求めてみましょう

この問題について，上の図のように直線ｍに関してＢと対称な点をＢ’とします． このとき，ＰＢ＝ＰＢ’でさらに，三角形の２辺の差は他の一辺より短いですから Ａ，Ｐ，Ｂ’が一直線上にないときはＡＰ−Ｂ’Ｐ＜ＡＢ’です．また，Ａ，Ｂ’，Ｐが一直線上 にあるときＡＰ−Ｂ’Ｐ＝ＡＢ’が成り立ちます． したがって，ＡＰ−ＢＰ＝ＡＰ−ＢＰ’が最大になるのは，３点Ａ，Ｂ’，Ｐが一直線上にあるときです． さらに，Ａ，Ｂ’，Ｐが一直線上にあるとき，直線ｍ上に点Ｘを取れば， ∠ＡＰＸ＝∠Ｂ'ＰＸ＝∠ＢＰＸ ゆえに，次の定理を得ます． 定理 ２点Ａ，Ｂが直線ＸＹに関して反対側にありＡ，Ｂの直線ＸＹまでの距離は Ａの方が遠いとする．このとき．直線ＸＹ上の点Ｐについ て次の式が成り立つ． ＡＰ−ＰＢが最大　⇔　∠ＡＰＸ＝∠ＢＰＸ この定理が分かれば目標の定理の証明は簡単です．すなわち，点Ｑが双曲線ＰＦ’−ＰＦ＝２ａ の左側にあるとき，線分ＱＦと双曲線との交点をＲとすると ＱＦ’−ＱＦ＝ＱＦ’−（ＱＲ＋ＲＦ） ＝（ＱＦ’−ＱＲ）−ＲＦ＜Ｆ’Ｒ−ＲＦ＝２ａ したがって，Ｐにおける接線上に点Ｑを取れば，ＱＦ’−ＱＦはＰのとき最大になり，Ｐにおける接線は， ∠Ｆ’ＰＦを２等分するという目標の定理が証明されました．