 ここでは，常螺旋面(じょうらせんめん)を扱います． 常螺旋面は回転面でもz=f(x,y)と表せる曲面でもありませんが， 極小曲面（平均曲率Ｈ＝０）として非常に重要な曲面です． 常螺旋面とは （ｕcosｖ，ｕsinｖ，ｋｖ）（ｋは定数） ・・・@ と表せる曲線で，右の図です． この曲面は極小曲面の１つです．どのような曲面かを復習しましょう． 円柱螺旋 （cosｖ，sinｖ，ｋｖ） 上の各点Ｐに対して，その点Ｐとｚ軸上の同じ高さの点を結ぶ直線を考え，その直線が移動することにより出来る曲面です． 点Ｐが円柱螺旋上を動くときの，直線の軌跡といってもかまいません．  ここで，常螺旋面を含むもっと一般の曲面を定義します． 曲線ｆ（ｕ）の各点に一つ方向ベクトルｇ（ｕ）を定義する．このとき Ｆ(u,v)＝ｆ（ｕ）＋ｇ（ｕ）ｖ （ー∞＜ｕ，ｖ＜∞） で定義される曲面を線織面(せんしょくめん)といいます． すなわち，曲線ｆ（ｕ）上の点Ｐに方向ベクトルｇ（ｕ）の直線が対応し， Ｐが曲線ｆ（ｕ）を動くときの対応する直線の軌跡である曲面のことです． 線織面で極小曲面になるのは平面か常螺旋面であることが知られています． さて，常螺旋面を眺めてみましょう． 棒をくるくる回しながら上にあがっていくときの棒の軌跡が常螺旋面です．上の図は （ｕcosｖ，ｕsinｖ，ｖ） （−∞＜ｕ，ｖ＜∞）・・・@ 次の図は （ｕcosｖ，ｕsinｖ，ｖ） （０＜ｕ，−∞＜ｖ＜∞）・・・A としたもので，よく見慣れた螺旋階段やスロープはAの曲面です． 
常螺旋面を円柱できった切り口による曲線は円柱螺旋になります．
常螺旋面の諸幾何量を計算しましょう． Ｆ＝（ｕcosｖ，ｕsinｖ，ａｖ）・・・@ について， Ｆｕ＝（cosｖ，sinｖ，０） Ｆｖ＝（−ｕsinｖ，ｕcosｖ，ａ） ｎ＝（ａsinｖ，−ａcosｖ，ｕ）／凵C凵＝iａ＾２＋ｕ＾２）^(1/2) Ｆｕｕ＝（０，０，０） Ｆｕｖ＝（−sinｖ，cosｖ，０） Ｆｖｖ＝（−ｕcosｖ，−ｕsinｖ，０） Ｅ＝１，Ｆ＝０，Ｇ＝ｕ＾２＋ａ＾２ Ｌ＝０，Ｍ＝−ａ／凵CＮ＝０ 平均曲率Ｈは ２Ｈ＝ＥＮ＋ＧＬ−２ＦＭ＝０ Ｋ＝(ＬＮ−Ｍ＾２)／（ＥＧ−Ｆ＾２）＝−ａ＾２／（ｕ＾２＋ａ＾２）＾２ 次に測地線を計算する． 曲面が直線を含めばそれは測地線なので，座標曲線ｕ線は測地線である．それ以外の測地線を求める． まず，クリストッフェルシンボルを計算すると Γ２２１＝−ｕ，Γ１２２＝ｕ／（ｕ＾２＋ａ＾２） それ以外のΓｉｊｋは０. 曲面上の曲線を弧長変数ｓで （ｕ（ｓ），ｖ（ｓ）） と表すと測地線は微分方程式 ｕ”（ｓ）−ｕｖ’（ｓ）＾２＝０ ・・・@ ｖ”（ｓ）＋２（ｕ／（ｕ＾２＋ａ＾２））ｕ’（ｓ）ｖ’（ｓ）＝０ ・・・A を満たす． Aに着目する． log{(u^2+a^2)v'(s)} をｓで微分すると,Aより {2uu'(s)v'(s)+(u^2+a^2)v"(s)}/(u^2+a^2)v'(s)＝０ であるから (u^2+a^2)v'(s)＝ｃ・・・B を得る．したがって （u^2+a^2）dv/ds=c ∴ （u^+a^2）dv=cds ここで，第１基本形式 ds^2=du^2+(u^2+a^2)dv^2 より (u^2+a^2)^2dv^2=c^2{du^2+(u^2+a^2)dv^2} {(u^2+a^2)^2-c^2(u^2+a^2)}dv^2=c^2du^2 (u^2+a^2)(u^2+a^2-c^2)dv^2=c^2du^2 (dv/du)^2=c^2/(u^2+a^2)(u^2+a^2-c^2)・・・C 微分方程式Cを具体的に解くのはなかなか難しい． 例えば，ａ＝１のとき，ｃ＝１（Bの積分定数をｃ＝１と定める）とすると dv/du＝±１／ｕ（ｕ＾２＋１）^(1/2) この微分方程式を解くと，解の１つとして v=-log〔{(u^2+1)^(1/2)+1}/u〕 をえる． |